PEN

Si l’on avait à la fois H;—H,=0o les valeurs de z’, et l’o seraient obtenues par les deux expressions

ze Ur d6—= Vo. (46)

80, — Les équations (20), (21), (22) et (24) montrent qu’à toute valeur de la fonction 0, donnée par la formule (27) correspond, par voie récurrente, un système de solution des équations (2), linéaire et homogène par rapport aux deux fonctions arbitraires U, et V, ainsi qu'à un certain nombre de leurs dérivées ; de même, à toute fonction 0’, définie par la formule (43) correspond un système de solutions des équations (38) jouissant de la même propriété par rapport aux fonctions U, et V:.

D’après cela, l'équation d(z+itje EP —(z'du— il dv}e ®

est une relation différentielle, linéaire et homogène par rapport aux quatre fonctions U,, U:, V, et V:. On en déduit, a et b désignant deux constantes réelles et arbitraires,

z+it= ae tre ie (au i l’dv)e À?

ou encore, en égalant les parties réelles et les parties imaginaires et tenant compte des équations (20), d— aHicos(o+ b)+ F(U,V:), bi aEosiri(o + b)+ D(Un, Vi).

les expressions F et Ÿ étant des fonctions connues de U, et de V; et nulles iden tiquement pour U: = V, — 0.

Les équations précédentes permettent d'obtenir, de proche en proche, au moyen des deux premières équations (19) et par des seules opérations de dérivation, pour une fonction 0, quelconque, une expression de Ja forme

7 (u,v)-+Y(U:. Vi),

f désignant une fonction connue et une expression qui comme F et est nulle identiquement pour U: = V: = 0.

Or, on peut déterminer le nombre p de manière que la fonction 0, ne contienne, par exemple, aucune dérivée de la fonction U;. On a d’après cela

Ui=X(Vi)+f(u,v)+Y(U:V:),

/. désignant une expression différentielle linéaire et homogène par rapport à la fonction V..

Appelons U,, et V,, un système de valeurs de U;et de V, qui correspondent respectivement à U, = 0 et V, =: 0; l’équation précédente peut s’écrire

Ui= (V1) +/{u,v)+4(U:,0) ou encore, en remarquant que l’on doit avoir

U,0=X(V1,0) + (uv), (47) Ui=Ui+4(U0:,0). (48)

On trouverait de même pour les fonctions V,,, et V, des expressions de la forme Vi:0=Xi(U1,0) + (uv), (49) Vi Vi,o Vi(O, Va). (50)

Les équations (48) et (50) montrent que l’on obtiendra les valeurs de U, et de V;, respectivement en fonction de U, et de V:, lorsque les quantités U:,0 et V, seront déterminées. C’est la question que nous allons maintenant traiter.

Considérons pour cela les deux équations (47) et (49); la forme des fonctions 0 montre que l’on peut les écrire

Us= Yu f (Vis), Vin= o ? (Un), (51)

u; et v; désignant respectivement des fonctions des variabies u et » linéairement indépendantes, ji et +; des expressions différentielles et linéaires par rapport aux deux fonctions V;,4 et Us.

Pour que les équations précédentes puissent être vérifiées, il est nécessaire et suffisant que l'on ait, quels que soient et j, ai et b; désignant des quantités constantes

J,(Vin)=a,, g,(U)=b

, à / . L ° D'après cela, les équations (51) donnent pour U,set Vi, des expressions de la forme

\Y a Urw=Yau, Vio= Ÿb,0,. (52)

les quantités ai et b; devant satisfaire au système d'équations linéaires certainement compatibles

ON — NI = AD) a; (Eue)=6,,

Ces résultats montrent que les fonctions U,, et V,, ne dépendent, en réalité, que d’un seul système de constantes a; ou b; dont plusieurs d’entre elles peuvent être prises arbitrairement; car, s’il en était autrement, la fonction aei(?+b) ne pourrait contenir aucune constante arbitraire.

Il n'est pas inutile de remarquer que les valeurs U,, et V:, de U, et de

V, sont celles qui correspondent, à un facteur constant près, aux solutions de module égal à l’unité de l'équation (1).

Proposons-nous maintenant le problème inverse de celui que nous venons de traiter c’est-à-dire de déterminer U, et V;, respectivement en fonction de U, et de V,.

Les équations

CNET 0x 499 p on ‘am 7? Œ

donnent, en tenant compte des relations (40), be F (UV), Gu—D'(ULV:,

F° et æ’ étant des expressions différentielles linéaires et homogènes par rapport aux fonctions U, et V..

Les équations précédentes permettent d'obtenir, de proche en proche, au moyen des relations (39), pour une fonction 0’, quelconque, une expression

de la forme

0p= 4 (Ui, Vi),

4’ désignant une fonction de même nature que F° et +”.

On en déduit, pour une valeur convenable de p,

Vo= T° (U:) +4 (Ui ) V1)

ou, en remarquant que l’on a 0% (U2)+ CU, V0) Vo= (0, Vi Vic). (53)

On obtiendrait de même

Ur=ÿi(Ui—U:0,0). (54)

Les fonctions U,, et V;, ayant été déterminées précédemment, les équations (53) et (54) donnent la solution du problème.