CHAPITRE III

Considérations sur les surfaces successives obtenues par application de la méthode de transformation de Laplace en prenant comme point de départ

les lignes de courbure d’une surface réelle.

90, — Soient Ÿ une surface réelle et uetvles coordonnées curvilignes de ses lignes de courbure.

La théorie des congruences rectilignes (‘) montre que le système conjugué

u = Cet v = c* tracé sur la surface À permet d'obtenir, de proche en proche, une suite illimitée ou non de surfaces

D ps pret Lys De D dos () Nous supposerons que ces surfaces sont déterminées, dans le sens des indices croissants, en partant des tangentes aux courbes v = c".

Enfin, nous désignerons respectivement par Fh et À; les courbes v = c"et u== c* qui passent en un point M: de ZA correspondant à M de Ÿ et par An+1; A’n41, A’’n+1 les paramètres directeurs de la tangente commune aux courbes lh et Ah41 aux points Mà et Mh +1.

Aux surfaces de la suite (1) nous associerons les surfaces .. DS PIS tp Da . TS ST Si, .. Sg—1,9q° .. (2)

obtenues de la même manière et définies de la façon suivante :

La surface S sera le lieu des centres de courbure de la surface Ÿ le long des courbes l et le sens des indices croissants sera encore déterminé en partant des tangentes aux courbes » = c".

Enfin, nous désignerons respectivement par C, et D, les courbes v = cet u = c* qui passent en un point P, de S, correspondant encore à M de È et

(!) Dargoux, Théorie générale des surfaces, t. IT, 2e édit., p. 16 et 17,

par Bn, B’n, B’n, les paramètres directeurs de la tangente commune aux courbes Cn et Dh+1, aux points Ph et Phy1.

Il est à remarquer que la surface S, sera le lieu des centres de courbure de la surface È le long des courbes À.

Cela posé, considérons quatre suites de courbes ln, An, Cn et Dh passant par les points M, et P, des surfaces > et Sn ; nous allons démontrer, relativement à ces courbes, un certain nombre de propriétés qui résultent de leur définition même.

Les surfaces S et $, (voir fig. p. 41) représentant le lieu des centres de courbure de la surface À, la tangente commune aux courbes D, et C est perpendiculaire au plan tangent à Zen M ; de plus, les binormales à ces courbes sont respectivement parallèles aux tangentes aux courbes F et A.

On déduit immédiatement de ces propriétés que la tangente commune aux courbes D et C;, qui n’est autre chose que la caractéristique du plan oseulateur à la courbe D, quand u varie, est perpendiculaire au plan osculateur à la courbe T ou encore au plan tangent à À, en M, ; par suite, la binormale à la courbe D est parallèle à la caractéristique du plan osculateur à la courbe l' quand »v varie, c’est-à-dire à la tangente à la courbe F, ; enfin, la binormale à la courbe C. étant perpendiculaire au plan tangent

à S en P est parallèle à la tangente commune aux courbes T et À..

Il résulte de ce qui précède que les propriétés corrélatives que nous avons énoncées relativement aux surfaces S;, S et È se retrouvent sur les surfaces S, S. et 2, et par conséquent, de proche en proche, sur un groupe quelconque de surfaces S{n4), Sn et Zn.

On peut donc, d’après cela, adopter pour les paramètres directeurs des binormales aux quatre suites de courbes que nous avons envisagées les quantités suivantes :

137% 1); B’-(n 1)s BC 1}

An, B n—1); 13) C1) B?? Qi—1)s

On sait que toute droite Pa Ph+, passe par le point correspondant M, de ©,; de plus, nous démontrerons dans le Chapitre 1v que les deux tangentes aux courbes l, et À, aux points M, et M, sont rectangulaires.

100, — Les résultats précédents montrent l'importance des deux séries de paramètres directeurs An, An, A°n ; Bn, B'n, B’n, qui donnent à la fois les directions des tangentes et des plans osculateurs aux quatre suites de courbes Th, À, Cn et Dr.

Nous allons nous proposer, dans ce paragraphe, de montrer comment on peut obtenir ces quantités, de proche en proche, en fonction des cosinus directeurs a, &, &”’ : b, b’, b’’et c, c’, c’’ des tangentes aux courbes F et A et de la normale à la surface Y.

Tout d’abord, les propriétés du trièdre mobile attaché à une surface et formé en chaque point par les tangentes aux lignes de courbure et la normale à la surface (‘) montrent que les neuf cosinus directeurs précédents satisfont aux deux systèmes d'équations aux dérivées partielles

Pis q, r et r, désignant des quantités qui vérifient les relations

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ou = UT Sn die (6)

Les équations(4)et(5) donnent, par des éliminations convenables, en tenant compte du système (6), les trois équations aux dérivées partielles