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tout à fait analogues aux équations (20) et (21) du Chapitre 11. On peut donc écrire d’une façon générale

dOtp ,®© 0A» (Q) our io Car ) re: ) (Q) @) Cip--1 OTp b 9 ov Apt =TpHÂp 40) , LT

PAT TE Judp*

Il résulte de ce qui précède que la détermination des paramètres directeurs An An À°’n revient, au fond, à celle des fonctions +1. C’est cette question que nous allons maintenant résoudre.

On sait (!) que les cosinus directeurs de la normale à une surface sont donnés par les expressions

26 0 be op Et os MATE NE ()

dans lesquelles + et 6 désignent les quantités définies par les équations (27) du Chapitre t.

Cela étant, dérivons les équations (11) successivement par rapport à u et

par rapport à v ; on obtient, tous calculs faits et en posant pour simplifier l'écriture

y=1+cf, (12) de 2 AO | de” - 2Y se Ju = (cos? —uc) Ju = il sing — pc’), x = lite Ju POUCES) oc 2u . 2 dc? 2u to dc”? 2h , apr (sing—X), : (—cosp—)c), Re [G—e”}]. (14)

Si l’on compare ces résultats aux équations (5) et si de plus on remarque que les quantités entre parenthèses ont pour chacun des systèmes (13) et (14) une somme de carrés égale à un et forment avec c, c’, c’? un déterminant de valeur un, on en conclut que l’on doit avoir

(') DarBoux, Théorie générale des surfaces, t. I, 2e édit., p. 297.

rie

D'après cela, le système (6) et les équations (40) du Chapitre précédent

donnent, en adoptant pour + la valeur CH,

les deux relations

261 ot

DT O Lee 10

On en conclut, d’aprèsles équations (39) du Chapitre 11, que l’on peut écrire

d’une façon générale

Dry 00» , dv 2 PP Yp = tp dpi,

00”p1 tp

2 2 T ir, 10, F On CITES Lee a 5

, d'Lt PAPAS do *

De plus, la théorie des équations adjointes permet d'obtenir les deux autres

séries de relations

Ty 00»

—(,,—Ty—— = 2% # du joe 7 1) du Ty 10 Hs

00p j-] dTp ? Tv dv O1= tp 0.

Il résulte de ce qui précède que les fonctions rA définies par les équations (15) et (17) ou (19) satisfont à la question que nous nous étions posée.

Sans entrer dans le détail des calculs en ce qui concerne la détermination des paramètres directeurs Bn, B’n, B’’h, on verrait facilement qu’en posant

CR

dans la troisième équation (7) on peut écrire, d’une façon générale, les deux

séries de relations

Qi) :

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