CT
On déduit de cette relation, en remarquant que les équations (26) donnent, d’après les résultats du Chapitre 1,
dy=2(u\ du +)\u’dv), (28)
dg=2(ul du + \m dv)
la valeur du rayon de courbure principal R
Cette dernière équation, comparée à la relation (25), montre que l’on a s+Vrt= 5 :
D'après cela, on peut écrire les formules (24) sous la forme suivante qui ne renferme plus les dérivés r, s et 1:
l v X—iY=65—p, XHiY=as—g, 2Z=(7—2)5 9. (29)
Ce résultat étant acquis, considérons d’abord le cas de la surface Y*,.
On a les deux systèmes d'équations
An An An É s ne
Poe © OYn — in
Pr dv 7)
Kn et K’n désignant les valeurs communes des rapports précédents.
Les deux premières équations (10) et les équations (30) donnent, s, représentant l’une quelconque des coordonnées Zu, Yu, Zu, les deux équations aux
dérivées partielles
don Ta d6n Tn+1K°n 06n 0 oduov dv ou TukKn dv ré
(31) d°6n Tn 06n Tn—1Kn06n
dudv don Re QU)
ce Or les courbes u et v tracent sur la surface Z, un système conjugué, on a donc les relations de récurrence (!)
Kytn 0ôn K’ntr-1 0u 6
On1= On
(32) K’utn dGn On—1 = ©: .
Mon NT
Le problème que nous avons en vue revient donc à la détermination du n pe.
Pour effectuer ce calcul, nous remarquerons tout d’abord que les équations (5) et (13) donnent
rapport
c'est-à-dire, en tenant compte des équations (9), A 20 Les relations (10) et (19) donnent par suite An— 20». (33) 1 résulte de cela que l’on a, d’après les équations (30 et (32),
On1Tn O7 Ent 1 dv
Zn = 2 ,
(34) OnLiTn 1 Ozn Ontn OU
Zn—1 = Ent
Posons d’une manière générale
Zntn= —ln.
Les équations précédentes donnent, en tenant compte des relations (19),
ot d6, Sr 0n— in Se = Li—10n-1 , (35) dûnty Oh n On: 1—={n t 10».
On obtient ainsi, par voie récurrente, toutes les fonctions {; en partant de la valeur initiale {=Hy (36) déduite de la dernière équation (23).
() Dargoux, Théorie générale des surfaces t. II 2e édit., p. 18 et 19.
no
Les équations (30) donnent par suite, d’après ce qui précède,
6 (2) Kn "7 90\m CE 5 ; (37) (er
ou Tn
On peut donc écrire les équations (32)
Ô ln On-1T Leo le On+1—On dV\Ta
06n EE d (2 ) Ces” Ontn--1 males
ou Ou \Tn (38) rat) On—1—On De ou Th Lee Se dv RES dD\Tn Considérons maintenant le cas des surfaces S, et posons Br Le B’r = B’’r —M Xl 0Zr ou ou ou (39) » LE Ba-1 B’r1 ee 1e —M'»,
0Xn OYn Zn 0v ov ov
En raisonnant comme dans le cas précédent on verrait que l’on peut écrire, sn désignant l’une quelconque des coordonnées Xn, Yn, Zn,
Mn0’n On Sn-1—= PR NPaba a Sn , (40)
= M'a0’n OSn St AL M0”n-1 dv ‘
Pour déterminer le rapport Sr nous remarquerons d’abord que l’on a, d’après la troisième équation (11), GENE 2 c’est-à-dire, en tenant compte des équations (15) et (20) B’’=7—2H.
Les relations (17) et (21) et les équations (39) du chapitre précédent donnent ensuite d’une manière générale
B— Tn—2Hn. (41)
oi
D’après cela, les équations (39) et (40) donnent
(tn —2Hn)0°n 0Zn (n—1— Hs) 0 dv
Znh= Zn (12) (cn—1—2Hn—1) 0°n 0Zn Pa Zn (ou 2Hn)dem ion à Je dis de plus que si l’on désigne par h’ la fonction 0’ qui correspond à À — lon a, quel que soit l'indice p,
Tp— 2H» Rp bp Tp—1 —2H 51 Rp ip—1
22 H» Go CIE, Fe Hp 6°» Hp à (3) 9 dZLp D To—2Hy» à (52) à 2 0Zp =. Tp—1—2Hy à (Ge). (44) ou Hy ou\0» dv Hp dv \0’p
En effet, les équations (19) et (39) du Chapitre 11 et (17) et (19) de ce chapitre donnent, par des combinaisons convenables,
Hp-1tp —Tp1Hy Hptp=1 —7T) Hp
Op 0pu un” 6p0°» Cé D) Tp = 6p0°p11 0 / Tp 0p-110"p où ()=x EE ÿ ou FAR H} d K désignant une fonction indépendante de p, Or, on déduit de la première équation (28) a FH) ir ou \Ho/ H} “ On a donc K—2 et par suite Hptp1 19 Hp—1 = 20p0"p, (45) d Tp 6p0°p11 à Tp 0p-+10°p LR TA Ve =) so Pr EP x) . FE ou (2) Do: (46) On aurait de même pour les fonctions /, les relations analogues Hptp1—toHp1=20php; (47) 0 [lp \ Sphp+i 0 {bp Op p 0v (F5) =2 HD ou (2) =. Fo (48)
Ces résultats étant acquis, les relations (45) et (47) montrent de suite
que si la première équation (43) est satisfaite il en est de même de la seconde et réciproquement.
nt Pen
D'après cela, supposons que les équations (43) soient vérifiées pour p = n; on trouve sans difficulté, au moyen des relations (46) ct (48), qu'il en est de même des équations (44).
" eo + )Z À 02 u 1 Enfin, si l’on remplace __ et = par leurs valeurs dans les relations (42),
on obtient la seconde équation (43) pour p=n +1 etla première pour p=n—1 ; comme cette équation est vérifiée pour p = 0, d’après la troisième équation (24), la proposition est démontrée,
Il résulte de ce qui précède que les équations (39) donnent
Er 0 f I =)
Mn dœ\P, , Mn a 2 bon. ou \ 0? ”
2 [Rn Sn-1—Sn ÉaHn (%:) À Sn it de 0 (Rn\° Où {) hB (qe) (50) ; 2 f{Rn Sms, . 0 nHn—1 Qu ( )
Sn art ci ?] Fr ?
Tv 0 n—1Hn xl)
