CHAPITRE IV
Application des résultats prédédents
au cas où la suite des surfaces Y, est limitée.
12.— Considérons parmi toutes les suites de surfaces Ÿ,, qui ont été envisagées au Chapitre précédent, et qui correspondent à une même fonction 6, celle dont la surface initiale 5 se réduit à une sphère de rayon un, c’est-à-dire à la représentation sphérique des surfaces À répondant à la fonction 6.
Les deux droites MM, et MM: sont polaires réciproques par rapport à la sphère.
Supposons, d’une manière générale, deux droites D et D’ polaires réciproques par rapport à une sphère Si la droite D enveloppe une courbe C, la droite D’ enveloppe une courbe C? polaire réciproque de la courbe C, et le point de contact P°’ de la droite D’ avec son enveloppe est le pôle du plan osculateur au point correspondant P de la courbe C ; de même, le point P est le pôle du plan osculateur en P’ à la courbe C’.
D'après cela, si l’on se déplace sur une courbe À de la sphère 5, le point M, est le pôle du plan osculateur à la courbe À en M, c’est-à-dire du plan MM-1M->; de même, le point M-1 est le pôle du plan MM, M; ; enfin, à deux positions infiniment voisines du point M;, quand u varie, c’est-à-dire à la droite M, M,, correspond comme polaire réciproque, d’après la théorie des tangentes conjuguées de Dupin, la droite M-1M 2 intersection du plan osculateur en M à la courbe À avec le plan osculateur infiniment voisin.
On démontrerait de la même manière que la propriété précédente a lieu, d’une façon générale, pour deux droites correspondantes quelconques Mp Mp+1 et M »M-{P+1) qui sont par suite rectangulaires.
Ces résultats étant acquis, nous allons nous proposer de chercher dans quelles conditions la suite des surfaces 5», et par conséquent celle des surfaces De cob limitée.
supposons, pour fixer les idées, que la surface 5m (m:-0) soit la dernière de Ja suite dans le sens des indices croissants,
Pour qu’il en soit ainsi, il est nécessaire et suffisant que cette dernière surface se réduise à une développable de génératrice FA ou à une courbe unique l'y.
Dans la première hypothèse l’arète de rebroussement Am+1 de la surface 5m admet, quel que soit u, comme polaire réciproque par rapport à la sphère s la courbe ÀA»; la surface 5-n doit donc se réduire à une courbe unique À». On démontrerait de la même manière que dans la seconde hypothèse la surface 5{m+1) se réduit à une courbe unique F-(m+1); par suite, la surface 5m se réduit à une développable de génératrices À m.
Il résulte de ce qui précède que si la suite des surfaces 7, est limitée dans un sens par une surface développable, elle se termine dans le sens opposé par une courbe unique et réciproquement.
D'après cela, nous pouvons toujours supposer, sans restreindre la généralité, que la surface limite sx est une développable de génératrices Fm; les courbes ln-1 sont alors des courbes planes.
Plusieurs cas peuvent se présenter suivant la nature de la développable 5».
a) La surface 5,, est une développable quelconque.
Dans cette hypothèse, la surface o" se réduit à une courbe gauche A,,.
b) La surface ch est un cône.
Si le sommet de ce cône ne coïncide pas avec je centre de la sphère 3 la surface 5 m se réduit à une courbe plane À» ; dans le cas contraire, le plan de la courbe A» est rejeté à l'infini, les tangentes aux courbes A{m-1), le long d’une même courbe l'-{m-1) sont parallèles et Jes courbes À(m-1) Sont gauches; la surface 5(m 1, est alors la dernière de la suite dans le sens des indices décroissants.
c) La surface 5m est un cylindre.
Cette hypothèse peut être considérée comme un cas particulier de la précédente en supposant que le sommet du cône est rejeté à l'infini; la surface 5 m se réduit donc encore à une courbe plane A»; de plus, le plan de cette courbe passe par le centre de la sphère 5 et est normal aux génératrices du cylindre 5m.
d) La surface sn est réduite à une droite unique Fm.
Si cette droite ne passe pas par le centre de la sphère 5 la surface 5» est également réduite à une droite À» normale à la droite Fm et les courbes À; 1) sont planes; dans le cas contraire, la droite A» est
rejetée à l'infini et les plans des courbes A{»1) sont parallèles et nor-
maux à la droite Tm; la surface 6{m 1) est alors la dernière de la suite dans le sens des indices décroissants,
Re
Les résultats que nous venons d'obtenir pour les suites de surfaces 5» permettent d’énoncer, relativement aux suites correspondantes de surfaces 2», les propriétés corrélatives suivantes :
Lorsqu'une suite de surfaces ©, définie au début du Chapitre nr est limitée, elle se termine toujours dans un sens, que nous adopterons pour celui des indices croissants, par une surface développable 2» (m>o) de génératrices ln et les courbes l'm 1 sont planes.
Dans le cas où la surface Ë» est une développable non cylindrique, ou bien les courbes À, où A(m 1) sont gauches et leurs tangentes le long d'une même courbe T» où (m1) sont parallèles, ou bien les courbes À,, sont planes et situées dans des plans parallèles.
Si au contraire la surface ©» se réduit à un cylindre, ou bien les courbes Am Où À(m-1) sont planes et situées dans des plans normaux aux génératrices du cylindre, ou bien la surface ©» se réduit à un cylindre de génératrices A» normales à celles du cylindre Ÿ» et les courbes A(m-1 sont planes.
Pour terminer ces considérations géométriques, nous remarquerons que les propriétés corrélatives des tangentes et des binormales aux quatre séries de courbes l'», Ap, Cp et D, permettent d’énoncer, relativement aux surfaces Sp, les propriétés suivantes qui entraînent leurs réciproques.
Si la surface 2h est une développable non cylindrique, les tangentes aux courbes D-{m 1) le long d’une même courbe C-(m-1) sont parallèles et les courbes D (m 1) sont gauches; de plus, la surface Sm+1 ou Sm est une développable de génératrices Cm+1 ou Cm, suivant que la suite des surfaces 2, se termine dans le sens des indices décroissants à la surface Ï» ou Y(m1) et les courbes Cm ou Cm—1 sont planes; enfin, la développable Sm+1 se réduit à un cylindre si les courbes ÀA;, sont planes.
Si au contraire >» est une surface cylindrique, et que les courbes ÀA» ne se réduisent pas à des droites, les conclusions sont les mêmes que dans le cas précédent sauf que les courbes D{m-1) sont planes et situées’ dans des plans parallèles et que la surface Sm+1 où Sn se réduit toujours à un cylindre.
Enfin, si la suite des surfaces Ÿ, se termine dans les deux sens par une surface cylindrique, les courbes D-(m—1) et Cm sont planes et situées dans deux séries de plans parallèles rectangulaires.
Il résulte de ce qui précède que si la suite des surfaces 2, est limitée il en est de même de celle des surfaces S> et réciproquement,
130. —- Nous allons nous proposer maintenant de chercher les expressions analytiques des résultats géométriques que nous venons de trouver en supposant que la surface Ë2} (m=0) se réduit à une développable de génératrices lm.
Le problème que nous avons à résoudre revient au fond à la détermination de fonctions 9, telles que la suite des surfaces 5, correspondant à chacune d'elles, satisfasse à l’un quelconque des différents résultats que nous avons obtenus par la voie géométrique.
Pour traiter cette question nous remarquerons d’abord, d’après les équations (20) et (21) du Chapitre précédent, que si l’on désigne par cp, C’p et c’’h les coordonnées d’un point quelconque d’une surface 5}, on a, quel que soit l’indice p,
LE 1 De Cp= — C’p— 1 Pre rs t = (1)
De plus, le tableau (3) du même Chapitre montre que l’on peut prendre comme paramètres directeurs des binormales aux courbes !”, les quantités
Cela posé, nous avons d’abord à exprimer que les courbes Fh 1 sont planes et que la surface 5» est située à distance finie.
Ce qui précède montre que si l’on désigne par V, V’, V’’ trois fonctions indépendantes de u, les conditions nécessaires et suffisantes pour que les courbes l—1 soient planes sont données par les équations
D’après cela, si l’on représente par K la valeur commune des rapports précédents, la deuxième équation (21) du Chapitre 111 donne
(à) REC ET g êLK : ti) —Jn ou U —(m—1) 7 fe Deus
Or, cette dernière relati n ne peut être satisfaite que si la fonction 0’-m est nulle ; car, s’il n’en était pas ainsi, on aurait
B-» Br B'°’/»
B (On >» (O2 Hier om D
c'est-à-dire que les courbes Th seraient des lignes asymptotiques de Ia surface Zm-1, ce qui est impossible,
ee LL
Réciproquement, si la fonction 0’» est nulle et que de plus la fonction 0’{m 1) est différente de zéro, l'équation (21) précitée donne des relations de la forme (2).
On a donc les deux conditions 6° (n—170 , 60. (3)
Si l’on conserve les notations du Chapitre 11, ce résultat montre que les fonctions 0, cherchées sont de rang m où m—1 par rapport à u suivant que l’on a
U:=U:» ou UZU:,.
On démontrerait de la même manière que les conditions nécessaires et suffisantes pour que les courbes ÀA» ou AÀ{»1) soient planes sont données par les systèmes de relations
0°m2—=0 , 6’mt1<0, (4) ou Om1—=0, 0» 20. (5)
D'autre part, les équations (1) montrent que si les trois paramètres directeurs B», BR’, et B’’, ne sont pas nuls simultanément, c’est-à-dire si Jes courbes C}, sont déterminées, la surface 5, sera ou non située à distance finie suivant que l’on aura
tp 70 ou 139 =)
Il résulte de cela et des considérations géométriques précédentes sur les surfaces S, que la condition nécessaire et suffisante pour que la surface 5» soit située à distance finie est donnée par la relation
Tm70. (6)
Cette condition et les résultats obtenus aux Chapitres 11 et 11 montrent que la fonction H, peut être nulle, mais que la fonction Hn-1 est certainement différente de zéro.
De plus, la surface 5m+1 étant la dernière de la suite dans le sens des indices croissants les équations (1) doivent donner pour les coordonnées Ci Cr Lt C mi des formes indéterminées ; on a donc en particulier, d’après l'équation (41) du Chapitre 11,
Fm+2— 9 Hi 0! (7)
Ye
Les deux résultats précédents montrent que les fonctions 0, cherchées sont d’un rang au moins égal à mn et au plus égal à m+-2 par rapport à v.
Il ne nous reste plus pour avoir en main tous les éléments nécessaires au classement des fonctions 9,, d’après leur signification géométrique, qu’à chercher les conditions nécessaires et suffisantes pour que les courbes lhm+1 ou À" soient rejetées à l'infini.
Pour obtenir ces résultats il suffit d'exprimer que les directions des tangentes aux courbes ln où À{»1, sont les unes indépendantes de v et les autres indépendantes de u.
On trouve ainsi respectivement, d’après les équations (10) du Chapitre z11 et en utilisant un raisonnement analogue à celui qui a servi à obtenir les conditions (3), les deux systèmes de relations
Tm1—= 0, Tm É 0; (8) T—m—=0 T—(m—1) 0. (9)
Sous cette forme ces conditions ont l'inconvénient de se prêter difficilement au classement des fonctions 0,. Les équations (17), (18) et (45) du Chapitre nr permettent de les remplacer par un certain nombre d’autres qui ne renferment que les fonctions 0,, 0”, et H.
On obtient ainsi, suivant la valeur de l'indice p pour lequel la première fonction H, est nulle, les résultats suivants :
Lou rx 10, tm 0.
ae Hont2>=0, Hymh130; Ont2=0, Bmi—0.
DM in 0 0 di et (10) pl Hn=0, Er 120, 20 orme En
ce H-(m 100, 27 ef) n Om — 0, D 0
b). En 0, EE -0-<0; 8 n—=0 où 6-10. (11) GE H-@-1=0, H-(m—2)5< 0.
Nous remarquerons enfin que les fonctions 6, cherchées se trouvent parmi celles qui ont été définies au Chapitre m1. Réciproquement, à toute fonction 0, de ce Chapitre, correspond une suite finie de fonctions tp CB et par conséquent, d’après les équations (1), une suite limitée de surfaces sp.
Nous avons maintenant tous les éléments nécessaires pour résoudre la question que nous nous sommes posée au début de ce paragraphe.
ei res
On trouve ainsi, en désignant par 0, [U:(p), Vi(q)} une fonction 9, du rang p par rapport à u et q par rapport à p, les résultats suivants :
1° La surface X,, est une développable non cylindrique de génératrices Ph.
a) La surface Ÿ» est la dernière de ja suite dans le sens des indices décroissants.
On a, si les courbes À» sont gauches,
Gi U:,o(m), Vi(m+2)|, Vi V0, (12)
et si ces courbes sont planes, 6 U,0(m), Vi,o(m+2)]
ou
GÜiu(m), Vi(m+1)|, VV 0 (13) ou enfin
dUi(m—1), Vi(m+1) UiUe : VV
b) La surface E 4» 1) est la dernière de la suite dans le sens das indices décroissants ; les courbes À{»1, sont alors des courhes gauches
On a dans ce cas Go[U:,n(m), O(m+2).. (14)
29 La surface 2» est un cylindre de génératrices Tm.
a) La surface Z» est la dernière de la suite dans le sens des indices df:croissants.
On a, si les courbes À sont planes, BIO(m), Vi,o(m“-2)] (15) ou
