m), Vi(m+1)|, VV

et si ces courbes se réduisent à des droites, c’est-à-dire si la surface Y,, se réduit à un cylindre,

Oo U1,0(m), V0 (nm 1 )] ou

G{U(m —1), Viso(m+-1)) UiZU::

ou BU). Vi(m), Vi Vis (16)

ou enfin G[Ui(m— 1), Vi(m)|, U:ZU:, Vi Vie

b) La surface Z{»1) est la dernière de la suite dans le sens des indices décroissants et les courbes A{»1) sont planes.

On a dans ce cas

6o[Ui,o(m), 9(m+1) an ou 6 Ui(m—1), O(m+1)}, Ur Us

Si la suite des surfaces ©, était limitée dans le sens des indices décroissants à une surface développable Ë» de génératrices A», on obtiendrait des résultats analogues aux précédents en remplaçant 0, par #, et en permutant les courbes l, et À, ainsi que les variables u et v.

Il est important. de remarquer que les fonctions U,, et V;,, qui rentrent dans une même fonction (, et qui sont données par les équations (32) du Chapitre n, ne doivent pas satisfaire aux équations (47) ou (49) de ce Chapitre, car, s’il en était ainsi, la surface Ÿ se réduirait à un plan.

Les différentes formes que nous venons d’obtenir pour les fonctions 0, ou 0, montrent que la solution

1 è 1+iu— AH @+ 0)

de l’équation (1) du Chapitre 11 est d’un rang au plus égal à m+1 par rapport à l’une des fonctions arbitraires et m2 par rapport à l’autre, l’équation (1) est donc elle-même d’un rang au plus égal à m+-1.

140. — Les résultats que nous avons obtenus au paragraphe précédent ne permettent évidemment de déterminer que la représentation sphérique des surfaces répondant aux hypothèses envisagées. Pour obtenir les surfaces elles-mêmes il faut joindre à chaque fonction 0, une fonction h;, de même rang par rapport à u et par rapport à v, dans laquelle les fonctions U, et V, ont des valeurs arbitraires que nous désignerons par U, et V;. Il est bien évident que lorsque ces dernières fonctions varient les surfaces *» et Sp se déforment tout en conservant les mêmes directions de tangentes aux courbes u—ct et —ct.

Nous allons nous proposer, dans ce paragraphe, de chercher quelles valeurs il est nécessaire de donner aux fonctions U, et V, pour que la suite

NOl

des surfaces È, ou S) se termine, au moins dans un sens, par une courbe où par une surface réduite à un point.

Nous supposerons, comme il a été fait précédemment, que la surface Zn (m>0) est une développabie de génératrices l'm.

Dans le cas des suites de surfaces Ÿ, nous remarquerons tout d’abord que l’arête de rebroussement de la surface Ë» peut être considérée comme la surface Ÿhn+1 réduite à une courbe Am+1. Si cette dernière courbe est située à distance finie, et si nous exprimons qu’elle a une longueur nulle, la surface Zn se réduira à un cône ayant le point Mn1 comme sommet; si au contraire elle est rejetée à l’infini la surface Ÿ,, se réduira à une droite unique ln pourvu que la longueur des courbes A} soit nulle.

Dans le sens des indices décroissants, et suivant les circonstances, la surface © » où À (m1) se réduira à une courbe unique A» ou A{m—1) si les courbes l'm Où l(m—1) ont une longueur nulle.

Il résulte de ce qui précède que le problème analytique revient à exprimer qu’un élément de courbe A, ou l, (p=0) est identiquement nul.

Pour que la première condition soit réalisée il est nécessaire et suffisant que l’on ait

no non 0e (18)

Or les équations (30) et (33) du chapitre précédent et la relation

ZpTo= — lp donnent :

mn it dÙ dv 00 do \w IN ANS CNT, nn PTe

Si l’on remarque de plus que les trois paramètres directeurs Ap, A’p, Ah ne peuvent être nuls en même temps et que la fonction 6, est certainement différente de zéro, on en conclut que l’on peut remplacer les équations (18) par la relation unique

à lp AC

c’est-à-dire, en désignant par U une fonct'on indépendante de V

mb (19)

Op

Les équations (19) et (35) du Chapitre nt ainsi que les relations (45) et (47) donnent, par des combinaisons convenables et en tenant compte de l'équation (19),

0) Pt) dé er

20}(Rp —U0”p)= Hh(ta—1— Ur» = 1),

GpU?— pi Up).

On déduit de ces relations, en désignant par U, une fonction indépendante de v et différente de zéro,

2h Ut) br TpU” = 011 U.

La dernière équation montre que si 0,41 est nul la fonction U doit se réduire à une constante et réciproquement ; dans ce cas, la fonction U, peut être prise arbitrairement ; si au contraire 0,41 est différent de zéro, on a

La deuxième équation (19) du Chapitre 1 et les relations (7) et (8) montrent d’ailleurs que dans ce dernier cas l’expression . est bien une fonction deu.

Il résulte de ce qui précède que la condition (19) peut être remplacée par les deux relations

k’p= UV’p + 5 HU,, (20) 710) —= Op-1U:

qui déterminent dans tous les cas la forme de la fonction h’,.

Cette deuxième fonction une fois connue, les résultats obtenus au Cha-

pitre 11 permettent de calculer la fonction h’, ainsi que la fonction h, correspondante.

On trouverait de même pour que l’élément de courbe F, soit identiquement nul, en désignant par V et V, deux fonctions indépendantes de u,

re la dernière devant être différente de zéro, les deux relations de condition

Ro = V0 1) + à HoeVe (21) TpNV'—=0 p Vi.

Examinons maintenant le cas des suites finies de surfaces S, en supposant, comme précédemment, que la suite des surfaces Ÿ, se termine dans le sens des indices croissants par une développable de génératrices ln.

On remarque de suite, d’après ce qui a été dit au paragraphe 12, que la surface S(m—1) peut se réduire à une courbe unique D(m-1); de plus, si la surface Ÿ» est différente d’un cylindre, la suite des surfaces S, peut être limitée dans le sens des indices croissants à un cône Sm+1 ou Sm on a une droite unique Cm+1 Où Cm, suivant que la suite des surfaces 2, est elle-même limitée dans le sens des indices décroissants à la surface X» OÙ À (m1); enfin, si à» est une surface cylindrique, la surface S» peut se réduire à une courbe unique Cm.

Il est facile de voir que l’on pourra réaliser analytiquement les conditions précédentes si l’on sait exprimer que les courbes C-(m—1), Dm+2, Din+1 ou DA ont des longueurs nulles.

Un raisonnement analogue à celui qui a servi à établir l’équation (19) montrerait pour qu'il en soit ainsi que l’on doit avoir respectivement, U désignant une fonction indépendante de v et V une fonction indépendante de u,

Ron) = V8? (m1); (22) R’o=U8’ (g=m+2,m+1,m) (23) 150. — Pour terminer cette étude nous allons donner quelques applications des résultats obtenus dans les deux paragraphes précédents. a) Cas de m = 0. Dans cette hypothèse les surfaces 2 sont des développables de génératrices r.

La fonction 0[U:,0(0), Vi(2)}, Vi Vis,

correspond aux développables les plus générales. Ces surfaces se réduisent à des cônes quelconques si l’on a de plus

H Ri=UVi+ an U

Quant aux fonctions 6 U:,0(0), Vi:0(2)|

et 0[U1,0(0), Vi(1)}» VV 0

elles correspondent aux hélicoïdes développables qui se réduisent à des cônes de révolution si l’on a, dans le cas de la première fonction,

Ri=UP:+ eu U”,

et dans celui de la seconde LRi=UVsr U=Ct, Enfin les fonctions do[0(0!, V:,0(2)] et 6 0(0), Vi(1)} Vi Vis correspondent aux surfaces cylindriques. Ces cylindres seront de révolution si la surface $, se réduit à une droite unique C;, c’est-à-dire, si l’on a k’,= UP”.

b) Cas de m == 1. Dans cette hypothèse les surfaces Ÿ ont leurs lignes de courbure planes au moins dans le système FT, Les fonctions (12), (13), (14) et (15) correspondent aux surfaces à lignes de courbure planes dans le seul système l ; si l’on a de plus h=U8":, ces lignes de courbure sont circulaires.

Les fonctions (16) et (17), au contraire, correspondent aux surfaces à lignes de courbure planes dans les deux systèmes ; si l’on a de plus RU, Ro VO (24) on obtient les cyclides.

Les deux relations précédentes ne sont pas forcément compatibles quelles que soient les fonctions U et V. Nous allons chercher dans quelles conditions elles peuvent être vérifiées simultanément.