NÉE) SIENNE

On déduit immédiatement des relations (26) que si le produit H, H., est nul l’une au moins des deux fonctions U et V doit se réduiré à une constante; de plus, les équations (39) précitées montrent que s’il en est ainsi on doit avoir

U=N=Cte,

Supposons maintenant que le produit H, H-,; soit différent de zéro et que la fonction H, ne contienne aucun facteur fonction de 4 ou fonction de v. Les équations (25) donnent dans ce cas, c désignant un facteur constant, la relation unique

NEUETCER: (27)

Cette dernière équation montre que si H, n’est pas de la forme V,—U,, ces quantités désignant des fonctions respectives de v et de u, le facteur c doit être nul et l’on a encore

VEN Cr:

Dans le cas contraire, l'équation (27) peut s’écrire V—-cV,=U—cU, et donne, en désignant par c, une nouvelle constante,

U=cU;+c, V—=cVi+e.

Il est important de remarquer que les fonctions (14) et (17) donnent les surfaces de Monge, les dernières correspondant aux surfaces moulures; si l’on a de plus

Ri=UP, les fonctions (17) donnent les surfaces de révolution.

c) Cas de m — 2. Dans cette hypothèse la surface S-, peut se réduire

à une courbe unique D, si la condition

este ME (28)

est vérifiée, ;

me

Or, il est facile de démontrer géométriquement que les surfaces S; et S; sont respectivement les lieux des centres des sphères osculatrices aux

courbes l' et A.

D'après cela, les fonctions 0, trouvées au paragraphe 13 permettent de déterminer, en tenant compte de l’équation (28), les surfaces à lignes de courbure sphériques dans le système l.

On verrait de même que si l’on a en outre

R’:=U6) (29) les fonctions (16) et (17) permettent d'obtenir les surfaces à lignes de courbure sphériques dans les deux systèmes.

Nous allons chercher, comme précédemment, dans quelles conditions les équations (28 et (29) peuvent être vérifiées simultanément.

Les équations (39) du Chapitre 11 donnent ici les deux relations (Ri— UP” :)H:= 6" HU” (Ro N°5): 0" 1H iv”.

On en déduit immédiatement que si le produit H; H-, est nul l’une au

moins des deux fonctions U et V doit se réduire à une constante; de plus, s’il en est ainsi, on doit avoir comme dans le cas précédent

U=V=Cte, Supposons maintenant que le produit H, H-, soit différent de zéro.

Les équations (39) précitées montrent que les fonctions U et V doivent satisfaire aux deux équations

2h Hi Apte LE ou | H;H: du H: HH° dv He Us

of Eee n) er El à () o

20 H>H, 2v \ H:1 H:H$ ou | H:

Pour résoudre ce système nous remarquerons qu’on peut le mettre sous la forme i=p i=q D ue,(V)= Zv, f,(U), {=1 j=1 Ÿ =?" = > 0,9" ,(N) = ë, f°,(U),