QUE
pas à un plan, correspond une fonction & déterminée à un multiple de x près.
Considérons inversement cette même fonction £, les équations (3) lui font correspondre une infinité de représentations sphériques et l’ensemble des équations (2), (3) et (4), une infinité de surfaces dépendant d’une constante arbitraire.
Parmi ces surfaces on obtiendra celles qui sont réelles en prenant pour 6, æ, p et q deux systèmes de solutions imaginaires conjuguées quelconques
du système unique LAON Ra Roi TTC Re rT
ct pour la constante arbitraire une constante réelle.
Le problème de la détermination des surfaces réelles, correspondant à une même fonction &, revient donc, au fond, à la recherche de tous les systèmes de solutions imaginaires conjuguées des équations (5).
Pour résoudre cette question, posons
2 i 7 À oT+ =, i(wT—") — 97, (6)
et éliminons Z et T entre ces équations et les équations (5). On obtient ainsi, toutes réductions faites et en tenant compte de la relation
(0 — CR (7) 05 0 ol do HE =g, ==. (8) ou ou ov ov
Il résulte des équations (6) que l’on obtiendra la solution du problème en prenant pour z et { toutes les solutions réelles du système (8) ; on aura ensuite pour les valeurs correspondantes de Z et T
DT (Art) De (rt): (9)
Ce qui précède montre que l'on obtiendra toutes les surfaces réelles en donnant à la fonction £ toutes les formes possibles et que l’on pourra les déterminer explicitement toutes les fois que l’on saura résoudre le système (8).
20. — Reprenons ce dernier système ; on en déduit, par dérivation et en tenant compte des équations elles-mêmes, les deux relations
O?z de . no 2@ oudv ‘ ouov ‘“oudv ?
(10; ot do 09 09
Qudv “Quov ‘Qu 0 —
ui
DS , pes . . En . .
d’où l’on tire, en multipliant la deuxième par i et ajoutant,
d°(z+ it) 0® do . d :
ouov (ER Je+in=0,
ou encore, en posant
Le dodo duo0v ouov? (11)
GE) OI Loe oudv | ouodv
Cine. (12)
On retrouve ainsi la propriété de la fonction z + if de satisfaire À une équation à invariants égaux admettant la solution particulière de module un eëy, mais la réciproque n’est pas vraie, c’est-à-dire que toutes les solutions de l'équation (12) ne satisfont pas au système (8).
Considérons en effet les deux équations (10), dont l'équation (12) n'est au fond que l'expression condensée ; on peut, comme il est facile de le vérifier, les remplacer par les suivantes :
0 { 0z 19 ot d@\00 = dv\ou ‘ du ODEOD/ OU RE
n) ( 5) + (5 Ha 5
ou\dv ‘ov ou ou / 0v
Sous cette forme, on voit que si l’on désigne par z et{, un système quelconque de solutions des équations
ot d® CE do = En i RTE OU ou 0 (e on pourra écrire oz 29 al d9 = Qu Ju =!» Gi pe À (15)
Il résulte de cela, qu'une solution de l'équation (12) ne satisfera au système (8) que si elle correspond à la solution particulière zéro des équations (14). Bien que l’équation (12) ne puisse remplacer le système (8), nous allons montrer comment sa considération permet, sous certaines conditions, de déduire les unes des autres, par application de la méthode de récurrence de Moutard ('}, toutes les équations à invariants égaux admettant une solu-
(:) Darsoux, Théorie générale des surfaces, t. IF, 2° édit., p. 161.
Ur.
tion particulière de module un, et, comme conséquence, toute une série de fonctions # en partant d’une fonction initiale #. Soit
d'{zitih) , dLo’e
(l oudv | Ouas DEN (26)
une équalion à invariants égaux déduite de l’équation (12) par application . de la méthode de Moutard. Cette équation admettra une solution de module un si l’on a
d'Le® dd
Qudv — Qu dv” CE Posons =", q=g—2; ol la relation de récurrence Lover if Lee 0'L(z+it} 7 duo0v | dudv ! duo0v ? 9)
dans laquelle z + il représente une solution de l’équation (12), montre que l’on peut prendre
pé=p+E), ÿ=arcty (5)
D’après cela, les équations (11) et (17) donnent, en tenant compte des relations (10) et après réduction,
D IONE AOACIA CU):
CHE) Su dv + ou dv + ou 00
do ot ne 29 Po je Sr me Ti ra
H est facile de voir que cette dernière équation peut être mise sous la forme simple
ol d@\ fol d\ or 09 024 do (x 15) (Se Fa ele +) (+152) =0. (21) Si donc on désigne par K une certaine fonction de u et v, on peut écrire les deux relations
ol 09 oz 09 ) OUR OTT moe TIE
07 de d 0%) = Lt K 2 2 ov F ov K(s, de) (en)
ni
On déduit de ces deux équations, en dérivant la première par rapport à v, la seconde par rapport à u et en tenant compte des relations 10),
0K /dz de \ 0K fol 09 ov (SE) 0, ou (Gi) =0.
: = ; : ; : 0909 ps On doit donc avoir, d’après les équations (13), en supposant Se différent de zéro,
Soit 0 29 ot 09 du pr ro où ‘où 0; soit 0K E 0K 5 OL OU
et par suite K—constante.
Dans la deuxième hypothèse les équations (22) et (23) peuvent s’écrire
d(Kz—1) de ou + (Ki+2) ou =0, (24) OAKÉHZ) ne 10 5 (Kz—t) 0
et expriment que les quantités Kz — { et K{ + z doivent satisfaire au système (8).
De plus, l'identité Ki—t+i(Ri+)=(2+ ii) (K +)
montre qu’elles satisfont également aux équations (12) el (19).
: 00 0pu, -ù ET > : FT :
Si le produit LS était nul, c’est-à-dire si l’équation (12) était du premier rang, et si de plus le système (8) n’était pas vérifié, il serait facile de montrer que l'équation (16) serait également du premier rang et par consé-
quent identique à l'équation (12). Nous pouvons donc écarter ce cas particulier. Il résulte de ce qui précède que l’on peut énoncer le théorème suivant : La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (16) admette comme l'équation (12), dont elle dérive, une solution particulière de module un, est que la solution de passage z + if satisfasse au système (8).
Cette condition étant supposée remplie, les quantités p? et a sont données par les équations
mi=pta+t), (25) pi ÿ—2arcige. (26)
Inversement, je dis que toute équation à invariants égaux qui admet une solution particulière de module un peut être déduite d'une équation de même nature et jouissant de la même propriété au moyen de la méthode de Moutard. La démonstration est immédiate, car les équations (8) et (26) permettent de déterminer, par l'élimination de z et £, la valeur de 2 relative à l'équation (12), en fonction de la quantité correspondante @e l'équation (16).
Cette élimination donne, tous calculs faits,
) Ü SL. \ ?] 2Ltÿ 2 pme 0œ\ 2] cop 08 op ou PR 2) ou\ 2 dv
Ce résultat montre que de même que l'équation (12) peut donner naissance à une infinité d'équations de même nature, l'équation (16) peut être considérée comme dérivant, par application de la méthode de Moutard, d’une infinité d’autres équations jouissant des mêmes propriétés.
En résumé, la méthode de récurrence de Moutard s'applique aux équations à invariants égaux admettant une solution particulière de module un, sous la réserve que la solution de passage z + 1 satisfasse aux équations (8).
Ce résultat est extrêmement important, car il montre que tout système de la forme (8) peut donner naissance, sans passer par les équations à invariants égaux, à une infinité d’autres systèmes de même nature au moyen de la formule de récurrence
pi=p—24rclg— »
et qu'inversement, tout système de cette nature peut être considéré comme dérivant, dans les mêmes conditions, d’une infinité de systèmes de même forme. |
30, tions (8) ; on peut prendre, d’après le système (6),
Soient À et y, 1 et m deux systèmes de solutions réelles des équa-
aie? (in B=te Qi) (27)
g=—iei? (Him), p=ie*(l- im). (28)
no
On déduit immédiatement de à, en posant d’une façon générale
ot d® r ÔZ d9 à ae Te Pre (29) dau=(Qdu—ip’du):—i?
(30) d3—(\du+ is dv)e”?, dg=(l'du- im dv})e—i?, (31)
dp=(l du + im dv)e à
Les équations (28) et (30) permettent par suite d'écrire l'équation (OA toutes réductions faites, sous la forme essentiellement réelle
d£—2(m\ du +lu’dv), (22)
d’où l’on tire, c désignant une constante réelle, e—2 [ m'du+ip'av+e. (33)
En résumf, les équations (27), (28) et (33) donneront les éléments d'une surface réelle toutes les fois que la fonction + sera telle que le système (8) pourra être intégré.
Considérons enfin les fonctions z et Ÿ définies par les équations (29); on à par exemple
dT ={(z du — il dv)e Ris (34)
En écrivant que cette expression est une différentiel'e exacte on obtient les deux relations
è ): 7° De HU pie @5) qui relient directement les fonctions z’, Ÿ et «.
Il est facile de voir que ces équations ont une certaine analogie avec les équations (8) ; on passe en effet du système (35) au syst'me (8) en remplaçant les dérivées des inconnues prises par rapport à u par celles prises par rapport à v et inversement.
Il résulte de cela, que les équations aux dérivées partielles qui donnent séparément z et z’ ou { et sont adjointes l’une de l’autre.
Cette remarque sera u‘ilisée dans le Chapitre suivant où nous allons étudier en détail le cas où les fonctions + donnent des équations à invariants égaux intégrables par la méthode de Laplace.
