CHAPITRE II
Cas où la fonction + permet de former une équation
à invariants égaux intégrable par la méthode de Laplace.
49, — Reprenons les équations
GHi) | FLE (54 it)=0, (1) dudv ‘| audv
0z 09 dE d9
É ! — > — 9 du | du 0, d0 “dv 0. (2)
Nous allons d’abord montrer que si l'équation (1) est intégrable par la méthode de Laplace, il en est de même de celles qui seraient obtenues par l'élimination de z ou { entre les équations (2) et réciproquement.
Soit en effet z + if une solution de l’équation (1), supposée intégrable par la méthode de Laplace, et posons
0 0$ Æ Elf lle A TS 19 Zi—=—1 CE 4 il) (z | il) ou (3) 0 a QU YATE HE Lil) —i(:+ Des (4)
L’élimination de z+il entre ces deux équations et l'équation (1) donne, en tenant compte de la relation
d’Lp? do 09
dudv dudv’
Ca Op O1 , de HR É =0 ee 1 à
re)
Il résulte de cela et de la forme des expressions de z’, et’, que l'élimination de z’ ou £’ entre les équations (35) du chapitre précédent donne une équation intégrable par la méthode de Laplace. Les équations qui donnent z et étant respectivement adjointes de celles qui donnent 7° et f jouissent par conséquent de la même propriété,
ue
Réciproquement, supposons que l'élimination de /, par exemple, entre les équations (2), donne pour z une équation intégrable par la méthode de Laplace ; cette équation admet donc une solution particulière linéaire et homogène par rapport à une fonction arbitraire de l’une des variables indépendantes ainsi qu’à un certain nombre de ses dérivées. On en conclut facilement, en tenant compte de la première équation (2), que l'équation (1) jouit de la même propriété et par conséquent qu’elle est intégrable par la méthode de Laplace.
On déduit de cette proposition et de certains résultats du Chapitre précédent que si l’on peut trouver toutes les fonctions +, telles que l'équation (1) soit intégrable par la méthode de Laplace et admette une solution de module un, on pourra, par cela même, former tous les systèmes (2) dont les inconnues z et { pourront être obtenues par l'intégration d'équations aux dér vées partielles intégrables par la méthode de Laplace. |
59, — Soit o une fonction réelle quelconque des deux variables imdépendantes u et v ; on peut écrire d’une façon générale
U et V désignant respectivement des fonctions réelles de u et v, et &’ une expression qui ne renferme aucun terme fonction seulement de l’une des deux variables indépendantes.
D'après cela, la fonction + se présente sous quatre formes différentes suivant que l’on a BRON UE DATE 0) (6) DONNE 0 Les variables indépendantes étant restées jusqu'ici indéterminées, nous les choisirons de telle façon que l’on ait pour les valeurs initiales des fonctions (A lorsque les quantités U” ou V’ ne sont pas nulles,
Les résuitats obtenus par Darboux sur l'application de la loi de récurrence de Moutard aux équations à invariants égaux intégrables par la méthode de Laplace, et ceux que nous avons obtenus nous-même dans le Chapitre précédent sur l'application de cette loi aux équations à invariants égaux admettant une solution particulière de module un, montrent que l’on obtiendra l’ensemble de ces dernières équations, qui sont intégrables par la méthode de Laplace, en appliquant la loi de récurrence de Moutard et
ed.
en partant, pour chacune des formes de la fonction +, de l'équation du rang le plus bas qui admet une solution particulière de module un.
L'étude de l'équation à invariants égaux du premier rang montre qu'elle admet les trois types de solutions particulières de module un correspondant aux trois premières formes des relations (6) et qu’elles n’en admet aucune correspondant à la quatrième forme.
Nous sommes donc conduit à rechercher s’il existe des équations du second rang jouissant de cette propriété.
Comme nous l'avons dit précédemment, nous supposerons
