U#+US

P(O’—U:)—UiU”>+ UV”: + D) Er Ce

Prenons les dérivées des deux membres de ces dernières équations ; on obtient, en tenant compte des équations (11), (V4 V2) (V:+mVi+n)=0, (14) (U”’>—U':) (—Ui+mU;:+p)—0.

Je dis que les seconds facteurs des expressions précédentes ne peuvent être nuls ; car, s’il en était ainsi, on aurait, d’après les équations (11),

Vi—mV:+p—0 où U:+mUi—n—0

et par suite les quantités V, et V, ou U, et U, se réduiraient à des constantes. La fonction +’ ne contiendrait donc au plus qu’une seule variable indépendante, ce qui-serait contraire à l'hypothèse.

On doit donc avoir

N'a V=0, U’:—U—0, (15) et par suite, d’après les équations (10), en supposant que m est finie, NV = 0, OUT Re D, (16)

On déduit facilement des équations (15) et (16) pour les valeurs des quantités U,, U;, V, et V, des expressions de la forme suivante :

Ui=acos(u —x)+ «, U:=asin(u—«)+ @s.

Vi= bcos(u—8)+ pb; Vi bsin(r—8)+ Bb»,

a, D, &, bi, @, D, à et $ désignant des quantités constantes.

Pour que ces solutions conviennent il est nécessaire et suffisant qu'elles satisfassent à l'équation (9).

En faisant la substitution on obtient la condition

(a+ bi) + (a+ b:)= + pe,