V. — Équations d'ordre

82. — Les abaques à points alignés, s'ils existent, sont alors formés de : 1 échelle rectiligne et de 2 échelles curvilignes.

Parmi les équations de cet ordre dont la disjonction est toujours possible, nous rappelons la suivante :

«iXt + o-aî + ^

= Zs'

A,X, + AjXj + I où X, et Xj ne sont pas des fonctions linéaires de ^h «t ^î- L'équation génératrice est :

83. — Il arrive souvent, en Mécanique appliquée, que l'équalîon précédente se présente sous la forme :

dbyGOOglC

rdbyGOOgle

Alors les deux échelles curv une seule [a], et la solution e corde «,»( de cette courbe avei

84. — Exemples : 4' fsockrû croisées (Abaque XX VW). — U cbrone s'il existe, entre p et l'angle variable a, la relation :

d'où l'équation génératrice :

COS a, 1

COS Bj 1

On a donc les échelles :

y— Àpsui

^ y = \ sin ,

, a: — [J^ tg a

Notons, pour la constructior de l'écbelle régulière [p] est à tote y = X de la courbe [x].

85, — 2" Écoulement de l'em verticale, deux des côtés étant horti La vitesse est donnée par la fc abaques, formule qu'on peut (

L'échelle [h] est une courbf asymptote aux deux axes de i

Si {v,hf,h^) est solution, {'av, :

profité pour réduire les limite peut avoir quelque précîsioi limites usuelles de h sont 0,01.

fractionné de la façon suivant

dbyGOOglC

rdbyGOOgle

me colonne pour colonne des s, I moins des quantités ;t et y serait .es colonnes des signes [a:], [y], [z]

aux valeurs extrêmes de i et de p

i proposée devient :

m — (i — l)=o, quel que soit h.

disposé comme l'indique la figure Itère utile LL'PP' est très aplati.

;t exemple comment l'introduction des paramètres de S conduit à une excellente disposition de l'abaque.

Déterminons ces paramètres de façon que le quadrilatère devienne un rectangle, en rejetant à l'infini, par transformation homographique, le point de rencontre des droites LL', PP', dans la direction Oy, et le point de rencontre des droites LP', L'P, dans la direction Oœ : on a ainsi un rectangle, et l'on peut choisir pour ses sommets des coor- , car il sera toujours loisible ultéle restreindre les abscisses ou les

DigmzcdbyGoOgle

Or, puisque le nouvel abaque est homographique du premier, sa courbe [(| a des équations de la forme :

! ^p—i)\+m~\.i)^—i{i—i)-> * - 2((ï i)À" + si(i + \)ij."—i{i—iy ^ ~ 2(/^— ijr+3i(i+iy— i{(— i)v"

Faisant successivement l=i et/ — 5 dans ces deux formules,

on obtient quatre équations de condition.

De même, en considérant la courbe [;>] et en faisant successivement ;i =; 1 , p = â) on obtient quatre autres équations.

On a donc huit conditions pour déterminer les neuf paramètres /.[ji . . . ■»'", l'un quelconque d'entre eux étant pris arbitrairement, pourvu qu'il puisse être différent de zéro. La solution de ces huit équations ne présente aucune difBculté et donne :

Sol

obtient ainsi :

(i-tm-i)-

(îp+l)(3p+2) i,(6A l)2(

(îp-1)(2p + l) h{ih — 3)

(i l)(î/l)+(i+2){i + 3) (îp+lK3p + 2) + (p-l}{2p-l) A{6A— 1) + 2(A — 1)(A— 2) On multipliera les colonnes x et y par des paramètres A et B de façon à avoir telles dimensions que Ton désirera pour le rectangle limite.

M. d'Ocagne a donné de cet exemple une solution analogue par la considération des' coordonnées parallèles; on retrouve exactement son abaque, dont la disposition est très remarquable, en prenant A = l, B=£i. L'emploi des coordonnées cartésiennes n'est certes pas plus compliqué et donne une construction par points qui permet de coter ÎDDmédi&temeut les courbes. Nous avons reproduit cet «baque en prenant A = l, B — 10.

dbyGOOglC

ÉQUATIONS A QUATRE VARIABLES DE LA FORME l,^hi