TETE
d'invariance de l'ordre de conjugaison des plans entre-eux, pour toute
transformation que peut subir la forme à laquelle ils appartiennent.
Appelons CONTACTS GROUPES les contacts qui réalisent la conjugaison de deux plans déterminés. À chaque couple de plans conjugués est ainsi associé un groupe de contacts et la propriété d’invariance des ordres de conjugaison entraîne la permanence de ces groupes.
Soient dès lors deux formes équivalentes. Nous pourrons affirmer que les groupes de trois contacts, les groupes de deux contacts et les contacts isolés sont en nombres respectivement égaux dans les deux formes. Ce que nous exprimerons d'une manière abrégée en disant que pour des formes équivalentes le grozpement des contacts est identique.
La réciproque n'est pas vraie : à des groupements identiques des contacts ne correspondent pas nécessairement des formes équivalentes, sauf dans le cas des abaques à trois plans (Voir plus loin : Etude des formes à trois plans).
Le critère du groupement des contacts pourra dès lors s’énoncer comme suit :
Etant donné deux formes tangentielles complètes à n plans indépendants :
1° — S5 le groupement des contacts dans les deux formes est dif-
férent, ces formes ne sont pas équivalentes ;
2° — Si le groupement des contacts est identique avec n — 3, les
deux formes sont équivalentes ;
3 — Si le groupement des contacts est identique avec n > 3, on ne peut rien affirmer.
Nous conviendrons de représenter les groupements de contacts par les nombres de groupes de chaque type, placés entre tirets, et écrits
dans l’ordre suivant :
— Nombre de groupes de 3 contacts, — Nombre de groupes de 2 contacts, — Nombre de contacts, isolés.
Leo
Un groupement défini par le symbole AND EC comportera À groupes de trois contacts, B groupes de deux contacts et C contacts isolés.
Deux groupements définis respectivement par les symboles
EN NE ARC C seront identiques si l'on a simultanément A RAI BP CriC
Critère du groupement des éléments.
Le critère du groupement des éléments repose sur le même principe que le précédent, mais il se réfère au groupement des éléments dans chaque plan au lieu de se borner à l'examen du groupement des contacts dans les formes.
Considérant comme ELEMENTS GROUPES des éléments qui appartiennent à des contacts groupés on caractérisera, d'une manière analogue à ce qui a été fait pour les contacts dans les formes, le groupement des éléments dans un plan par le nombre de groupes de trois éléments, le nombre de groupes de deux éléments et le nombre d'éléments isolés.
Pour des formes équivalentes le groupement des éléments dans les différents plans doit se retrouver, abstraction faite de l'ordre de succession des plans, identique à lui-même. Mais à des groupements identiques des éléments ne correspondent pas nécessairement des formes équivalentes, sazf dans le cas des abaques à trois plans et des abaques à quatre plans (Voir plus loin: Efwde des formes à trois plans et Etude des formes à quatre plans).
Le critère du groupement des éléments peut dès lors s'énoncer de
la manière suivante :
Etant donné deux formes tangentielles complètes à n plans indè. pendants :
1° — Si le groupement des éléments dans les plans est différent
pour les deux formes, ces formes ne sont pas équivalentes ;
HG
2° — Si le groupement des éléments dans les plans est identique
pour les deux formes, avec n — 3 où n — 4, les deux formes sont équivalentes * ;
3° — Sz le groupement des éléments est identique avec n > 4, on ne peut rien affirmer.
Le groupement des éléments dans un plan se représentera, comme un groupement de contacts, par les nombres de groupes de chaque type, placés entre tirets, et écrits dans l’ordre suivant :
— Nombre de groupes de 3 éléments, — Nombre de groupes de 2 éléments, — Nombre d'éléments isolés.
Un groupement défini par le symbole D ee C
comportera a groupes de trois éléments, b groupes de deux éléments et c éléments isolés.
Deux groupements définis respectivement par les symboles DR DEC Dh © seront identiques si l’on a simultanément
4 — 14! DD: ci ©
Propriétés relatives à l'emploi des différents critères.
En pratique on appliquera successivement — pour autant que l'on
n'arrive pas à une conclusion — les trois critères.
Le contrôle de la répartition des éléments et du groupement des contacts sont les deux opérations les plus rapides. On les effectue en premier lieu et c'est seulement si le cas reste douteux que l'on passe à l'examen du groupement des éléments.
* Le critère du groupement des éléments est donc un critère complet pour les formes à trois et à quatre plans, alors que les deux critères précédents ne sont complets que pour les formes à trois plans.
Nous donnons ci-après quelques propriétés relatives à l'application
successive des différents critères.
PROPRIETE I. — L'identité de répartition des éléments dans deux formes n'entraîne pas nécessairement — sauf dans le cas des formes à trois plans — l'identité de groupement des contacts, et inver-
serment.
Nous ne reviendrons pas sur le cas des formes à trois plans pour lesquelles on se référera, comme indiqué plus haut, au paragraphe relatif à l'étude de ces formes.
Soit dès lors une forme dont le nombre de plans, supérieur à trois, peut être quelconque et dans laquelle on peut isoler la configuration 1 de la figure 11. En modifiant cette configuration comme l'indique le schéma 2 de la même figure, on obtient une nouvelle forme pour laquelle la répartition des éléments n'aura pas été modifiée, alors que le groupement des contacts sera changé.
Inversement, soit une forme dans laquelle on peut isoler la configuration 1 de la figure 12. En modifiant cette configuration comme l'indique le schéma 2 — ou le schéma 3 dans le cas où le nombre des éléments du plan supérieur dépasserait, avant transformation, de trois unités le nombre des éléments du plan suivant — on obtient une nouvelle forme pour laquelle le groupement des contacts n'est pas modifié tandis que la répartition des éléments est altérée.
L'identité de répartition des éléments est donc bien compatible avec des groupements différents des contacts, et inversement.
COROLLAIRE. — Le critère de la répartition des éléments et le critère du groupement des contacts sont indépendants l'un de l'autre.
PROPRIETE Il. — L'identité simultanée de la répartition des éléments et du groupement des contacts dans des formes données n'entraîne pas nécessairement — sauf dans le cas des formes à trois et à quatre plans — l'identité de groupement des éléments.
Un même groupement des éléments, par contre, implique une répar.
tition identique de ces éléments et un groupement identique des contacts.
