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Formes fondamentales

La notion de formes équivalentes étant acquise on aperçoit l'intérêt qu'il peut y avoir à représenter, dans la mesure du possible, les mêmes abaques ou des abaques de structures semblables par des schémas identiques.

La définition des formes fondamentales nous permettra d'arriver à ce résultat. Elle nous donnera une règle au moyen de laquelle nous pourrons effectuer un choix, suivant un critère unique, parmi les différentes formes d'un même abaque et mettre en évidence l’une d’entre elles par rapport à toutes les autres.

Etant donné deux formes différentes d'un abaque, désignons par ELEMENTS ABERRANTS les éléments placés différemment dans les deux schémas. Notre détermination de la forme fondamentale relative à un abaque reposera sur la comparaison des éléments aberrants dans ses formes ordonnées.

Considérant les différentes formes ordonnées d'un abaque, nous appellerons FORME FONDAMENTALE /4 forme F telle que, quelle que soit la forme ordonnée F' à laquelle on la compare, le premier élément aberrant À PARTIR DE LA GAUCHE soit toujours situé PLUS HAUT dans F que dans F'*.

Comme on le voit, le principe sur lequel repose la définition des formes fondamentales s'inspire de celui — dont il est en quelque sorte le prolongement — sur lequel a été basée la définition des formes ordonnées. L'idée est la même : rejet au maximum des éléments vers le haut et vers la gauche des schémas.

La figure 15 montre l'application du critère de détermination des formes fondamentales et donne un exemple d’une telle forme. L'abaque considéré peut se présenter sous les formes ordonnées A et B. La forme A est fondamentale, car le premier élément aberrant à partir de la gauche (élément primaire du contact 5 indiqué par la flèche) est situé plus haut dans À que dans B.

* Pour toutes les formes ordonnées que peut présenter un même abaque, le dessin

des éléments secondaires est identique. La détermination d’une forme fondamentale reposera donc toujours sur le seul examen de la disposition des éléments primaires.

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Les formes qui ne sont pas fondamentales seront appelées FORMES SUBSIDIAIRES.

Toute forme subsidiaire peut évidemment être ramenée à la forme fondamentale à laquelle elle est équivalente, par des mouvements de plans convenablement choisis. |

Nous conseillerons de représenter les abaques, pour autant que des circonstances déterminantes ne s’y opposent pas, par leur forme fondamentale de préférence à toute autre.

Formes simples et formes multiples - Ordre de multiplicité

On peut se demander s’il existe des cas où certaines modifications apportées à l'ordre de succession des plans d’une forme donnée sont susceptibles de conduire à une ou plusieurs formes identiques à la forme de départ quant à la disposition des éléments, abstraction étant faite de leur individualité. La réponse est affirmative.

Considérons dès lors, pour un abaque donné, les formes qui correspondent aux différents ordres possibles de succession des plans et portons notre attention sur la disposition des éléments. Ces formes pourront se classer en deux catégories :

1° — Les formes que l'on ne rencontre qgw'une seule fois dans la

série envisagée;

2° — Les formes qui se répètent dans cette série et que l’on ren-

contre par conséquent plusieurs fois.

Nous appellerons FORMES SIMPLES les formes de la première catégorie, FORMES MULTIPLES les formes de la seconde.

Une forme simple est donc une forme à partir de laquelle il n'est pas possible, par une modification de l’ordre de succession des plans,

de retrouver une forme analogue.

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Une forme multiple est une forme pour laquelle il existe une ou plusieurs modifications de l’ordre de succession des plans qui conduisent à une ou plusieurs formes identiques quant à la disposition des éléments, et qui ne diffèrent de la première que par l'individualité de certains éléments.

Ces formes seront appelées VARIANTES de la première.

La figure 16 donne un exemple de forme multiple. Du point de vue morphologique, en effet, les deux schémas représentés par la figure ne diffèrent pas entre eux et l’on passe du premier au second en changeant l’ordre de succession des plans II et IV. Seule l’individualité de certains éléments est modifiée. On dira que la seconde forme est une variante de la première et inversement.

Ordre de multiplicité.

Nous définirons, pour les formes multiples, un ORDRE DE MUL- TIPLICITE par l'intermédiaire duquel nous caractériserons le nombre des variantes qu'elles peuvent présenter. Cet ordre sera donné, pour chaque forme, par le nombre des dispositions différentes des plans pour lesquelles on peut la trouver. L'ordre de multiplicité est donc égal au nombre de variantes augmenté d'une unité.

Les formes seront dites doubles, triples, etc, suivant que leur ordre de multiplicité sera respectivement deux, trois, etc.

La forme de la figure 16 est une forme double, car nous la trouvons pour les deux dispositions de plans indiquées et seulement pour ces dispositions.

Multiplicité réelle et apparente.

Nous dirons enfin que la multiplicité est REELLE ou APPAREN- TE suivant que, compte tenu cette fois de l’individualité des éléments, les variables qui peuvent être déterminées sont différentes — tout au moins certaines d’entre elles — pour les différentes formes ou bien

sont chaque fois les mêmes.

La différence est fondamentale.

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Dans le premier cas il s’agit de formes qui ont effectivement des possibilités distinctes et qui seront toutes utilisées, suivant le choix de l’inconnue.

Dans le second cas, au contraire, les différences ne portent que sur le mode d'emploi (ordre de succession des plans), sans impliquer pour les variantes des possibilités autres que celles de la forme de départ.

Dans le premier cas les variantes présentent un intérêt réel et doivent être considérées comme autant d’entités distinctes, tandis que dans le second on se bornera à retenir la forme la plus intéressante au point de vue utilisation, les autres pouvant être négligées comme faisant double emploi.

Il est bien évident que les deux types de multiplicité peuvent coexister pour une même forme, certaines variantes pouvant se présenter avec le caractère de multiplicité réelle, d’autres avec celui de multiplicité apparente. On y fera correspondre les notions d'ordre de multiplicité réelle et d'ordre de multiplicité apparente, la somme de ces deux ordres de multiplicité partielle étant égale à l’ordre de multiplicité tel qu'il a été défini plus haut.

La forme qui a été donnée comme exemple à la figure 16 présente le caractère de multiplicité réelle. En effet, les variables qui peuvent être prises comme inconnues correspondent, pour le premier schéma aux contacts numérotés 7, 8, 9 et 10, pour le second aux contacts numérotés 4, 5 CEE AO.

Sauf en ce qui concerne les variables correspondant au contact 10, pour lesquelles les deux schémas conviennent, c’est à l’une ou l’zuire

disposition des plans qu'il faudra recourir, suivant l’inconsiue choisie.

Quand nous parlerons de formes multiples, il sera toujours sousentendu qu'il s'agit de multiplicité réelle.

Propriétés relatives à la résolution

Les possibilités qu'offre un abaque donné quant aux variables susceptibles d’y être choisies comme inconnues dépendent essentiellement

des contacts qui peuvent être pris comme contacts de résolution. En effet,

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seules les variables qui correspondent aux éléments impliqués dans ces contacts peuvent être prises comme inconnues.

Nous donnerons ci-après quelques théorèmes relatifs à la détermination de ces variables.

THEOREME I. — Toute variable susceptible d'être prise pour inconnue appartient à un plan qui peut être amené en dernière position

où forme contact avec un élément appartenant à un tel plan, et récipr'oqguement.

L'élément secondaire du contact de résolution appartient toujours au dernier plan. Pour qu'un contact donné puisse être pris comme contact de résolution, il faut donc que l’un au moins des deux plans auxquels appartiennent ses éléments puisse être amené en dernière position. Ce qui démontre la première partie du théorème.

La réciproque résulte immédiatement de ce que tout élément appartenant au dernier plan peut toujours être pris comme élément de résolution.

COROLLAIRE. — Les variables impliquées dans les contacts de conjugaison de deux plans dont aucun ne peut ètre amené en dernière

position ne peuvent pas être prises comme InConnueS.

THEOREME II. — Toute variable susceptible d'être prise comme inconnue appartient à un plan qui ne comporte que quaire éléments ou forme contact avec un élément appartenant à un tel plan.

La réciproque n'est pas vrale.

La propriété directe résulte de ce que le dernier plan, qui est toujours impliqué dans le contact de résolution, comporte nécessairement quatre éléments.

La réciproque n’est pas vraie car la propriété, pour un plan, de comporter quatre éléments n’entraine pas qu'il puisse être amené en dernière position.

COROLLAIRE I. — Les variables im pliquées dans les contacts de CONJHEAISON de deux plans qui comportent chacun plus de quatre

éléments ne peuvent bas être prises comme inconnues.

COROLLAIRE IL. — Le nombre des variables susceptibles d'être prises comme inconnues ne peut être inférieur à huit.

COROLLAIRE II. — Le nombre des variables susceptibles d'être prises comme inconnues ne peut dépasser huit fois le nombre des plans à quatre éléments.

THEOREME I. — Les variables impliquées dans les contacts de conjugaison de plans à quatre éléments reliés par une chaîne de conjugués successifs à quatre éléments au dernier plan de l'abaque peuvent toujours être prises comme inconnues.

La propriété résulte du fait que les plans considérés peuvent toujours être amenés en dernière position (cfr. Théorème V du paragraphe Mouvement des plans. Formes équivalentes).

COROLLAIRE. — S; à partir d'un plan de rang p d'un abaque à n plans les (n—p) plans restants sont des plans à quatre éléments, les variables impliquées dans les contacts de conjugaison de ces plans

peuvent toutes être prises comme INCONNUES.

REMARQUE. — On se reportera à la théorie du mouvement des plans pour la détermination systématique de l'ordre de succession des plans qui permet de prendre comme contact de résolution un contact donné.

Etude des formes à trois plans

On construit facilement les formes tangentielles complètes à trois plans indépendants. On constate qu'elles sont au nombre de trois, à savoir :

— les deux formes fondamentales données par la figure 17;

— une forme subsidiaire équivalente à la forme I et correspondant, par exemple, à l'ordre II — I — III de succession des plans.

Formes fondamentales

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