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Pour un abaque mixte donné, la nature des formes dépend du choix du contact de résolution. Elle est déterminée sans ambiguïté quand ce contact est choisi *.
La figure 26 donne, pour fixer les idées, un exemple d’abaque mixte.
La forme 1, dans laquelle À est le contact de résolution, est une forme à plans indépendants. Elle ne permet pas la détermination de variables impliquées dans un contact tel que B.
Mais il suffit de grouper les plans III et IV comme l'indique la forme 2 pour que ce contact B à son tour puisse être choisi comme contact de résolution.
Extension aux formes à plans groupés de certaines définitions relatives aux formes à plans indépendants
Nous étendrons aux formes à plans groupés, moyennant les remarques suivantes, quelques définitions relatives aux formes à plans indé-
pendants.
Formes ordonnées.
La définition des formes ordonnées à plans indépendants s'étend sans modification aux formes à plans groupés.
Il est à conseiller, pour ne pas masquer la structure, de rejeter toujours le contact de résolution à l'extrême droite du schéma.
Plans conjugués.
La notion de plans conjugués reste valable dans les formes à plans groupés. On pourra l'étendre aux groupes de plans, ces groupes étant considérés comme des entités en relation avec l'extérieur par des contacts qui caractérisent des ordres de conjugaison, comme pour les plans
isolés.
* En effet si elle ne l'était pas, le ou les groupes que la forme pourrait comporter ne seraient que des groupes apparents — hypothèse que nous excluons implicitement.
Formes équivalentes.
La définition des formes équivalentes s'étend sans modification aux formes à plans groupés.
Attirons cependant l'attention sur le fait que les mouvements de plans permettant de ramener des formes équivalentes les unes aux autres peuvent modifier le groupement des plans.
Dans le cas des abaques mixtes, ces mouvements peuvent provoquer l'apparition ou la disparition de groupes.
Formes fondamentales.
La définition des formes fondamentales s'étend aux formes à plans groupés, mais comme ces formes peuvent différer à la fois par leurs éléments primaires ef bar leurs éléments secondaires, l'examen devra porter ici sur ces deux catégories d'éléments.
Le critère sera le même que pour les abaques à plans indépendants : premier élément aberrant à partir de la gauche rejeté au-dessus des éléments homologues de toutes les formes équivalentes.
L'examen portera d’abord sur les éléments secondaires. Si le critère permet d'isoler une forme unique, cette forme sera prise comme forme fondamentale quelle que soit la disposition de ses éléments primaires.
Si, au contraire, le critère isole plusieurs formes caractérisées par une répartition identique des éléments secondaires on passe, mais pour ces formes seulement, à l'examen des éléments primaires. Le même critère, appliqué à ces éléments, isole alors la forme fondamentale.
On pourra préférer, dans certains cas, appliquer le critère aux seuls éléments de fixation — secondaires, puis primaires — et ensuite seulement, s’il s'avère nécessaire, aux éléments de résolution.
Les formes à plans groupés qui ne sont pas fondamentales seront appelées, comme les formes non fondamentales à plans indépendants, formes subsidiaires.
Remarquons que dans le cas des abaques mixtes, ef pour autant que le contact de résolution soit rejeté à l'extrême droite du schéma dans les formes à plans groupés, la forme fondamentale sera toujours une forme
à plans indépendants.
Formes simples et formes multiples.
Les définitions relatives aux formes simples et multiples, ainsi que la notion d'ordre de multiplicité, s'étendent sans modification aux
formes à plans groupés.
Propriétés diverses
Nous donnerons ci-après quelques indications relatives à la génération des formes tangentielles complètes à plans groupés, au mouvement des plans dans ces formes, à l'application des critères d'équivalence et à la résolution.
Génération.
Les formes tangentielles complètes à plans groupés peuvent être générées en tenant compte des caractères qui ont été mis en évidence au paragraphe relatif à l'étude de leur structure. On pourra expliciter dans les schémas, pour faciliter l'opération, la structure propre des groupes et des sous-groupes, quitte à ordonner ensuite les formes si on le juge utile.
Attirons l'attention sur le fait qu'il n'existe pas de formes à plans groupés pour les abaques à trois plans.
En effet, les seuls plans qui peuvent être groupés dans une forme à trois plans sont les plans IT et IT. Mais le groupe ainsi constitué ne sera jamais qu'un groupe apparent, puisqu'il suffira d'adopter l'ordre
HT 1] pour transformer la forme à plans groupés en une forme à plans
indépendants.
Les formes à quatre plans sont donc les premières formes qui peuvent comporter des plans constituant un groupe vrai.
On établirait de même que, pour qu'une forme puisse comporter un sous-groupe vrai, il faut qu'elle comporte au moins huit plans, et ainsi de suite.
Mouvement des plans.
Un mouvement de plans, que ces plans soient groupés ou non, peut toujours être considéré comme résultant des mouvements individuels des plans déplacés. II en résulte que l'étude du mouvement des plans dans les formes à plans groupés repose sur les mêmes lemmes que l'étude du mouvement des plans dans les formes à plans indépendants. Nous y renvoyons le lecteur.
Les théorèmes relatifs aux mouvements des plans dans les formes à plans indépendants seront étendus aux formes à plans groupés en tenant compte des élargissements qui peuvent résulter de la possibilité, pour certains plans, de former des groupes.
On considérera successivement Les mouvements de plans individuels et les mouvements de plans groupés se déplaçant en bloc.
On remarquera, en particulier, que dans une forme à plans groupés un groupe de plans peut toujours être permuté avec l’ensemble des plans qui précèdent. Les plans ramenés en arrière forment alors un nouveau groupe qui remplace le premier.
Cette propriété est une généralisation de la propriété de permutabilité des deux premiers plans d'une forme à plans indépendants.
Indiquons enfin que l'étude des conditions de permanence des groupes permettra de formuler des critères d'existence pour les groupes vrais et des règles permettant de reconnaitre à priori les groupes vrais et les groupes apparents.
Critères d'équivalence.
Les critères d'équivalence donnés pour les formes à plans indépendants sont applicables aux formes à plans groupés en tant que conditions nécessaires. La non-identité de répartition des éléments, de groupement des contacts ou de groupement des éléments entraine la non-équivalence des formes.
Pour ce qui est des conditions suffisantes, nous nous bornerons à indiquer ici que le critère du groupement des contacts et le critère du groupement des éléments sont des critères complets pour les formes
à quatre plans. Le critère de la répartition des éléments, par contre,
