PREMIERE PARTIE

Considérations générales Principe de la représentation

schématique

NY . D sa mi TAN

Rappel du principe général des abaques à plans superposés

Les abaques à plans mobiles superposés ou abaques à plans multiples sont constitués par des ensembles de plans qui portent les éléments géométriques dont l'emploi est à la base de toute représentation nomographique. Ces plans sont superposés. Ils sont susceptibles de glisser les uns par rapport aux autres et d'occuper, lors de l'emploi des abaques auxquels ils appartiennent, diverses positions relatives.

Les plans sont matérialisés, en pratique, par des feuilles de papier transparent et les éléments géométriques sont tracés sur ces feuilles. Lors de la superposition, la transparence permet d'observer simultanément tous les éléments.

Positionnement des plans et résolution.

L'emploi d'un abaque à plans superposés repose essentiellement sur l'établissement et la constatation de coïncidences géométriques — appelées contacts — entre les éléments des différents plans.

Ainsi sont immédiatement mises en évidence les deux opérations fondamentales dont est constituée toute détermination nomographique effectuée au moyen d’abaques du type considéré : le POSITIONNE- MENT DES PLANS et la RESOLUTION.

Les plans sont tout d'abord disposés les uns par rapport aux autres, en vue des lectures à effectuer, au moyen de contacts prévus à cet effet.

Cette opération constitue le positionnement des plans et les contacts

MS

utilisés sont dits CONTACTS DE FIXATION. Ces contacts sont tels que, quand le positionnement est terminé, chaque plan ne possède plus, par rapport à l’ensemble des plans restants, aucun degré de liberté.

Quand tous les plans sont fixés les lectures s'effectuent, au cours d'une opération qui constitue la résolution, au moyen de contacts dits CONTACTS DE RESOLUTION. Cette opération s'exécute comme dans les abaques à plan unique, avec cette différence que les éléments qui participent à un contact de résolution n’appartiennent plus ici a un seul et même plan.

Un même contact pourra, en principe, jouer tantôt le rôle de contact de fixation, tantôt celui de contact de résolution, suivant les variables qui seront prises pour inconnues.

Les éléments peuvent, eux aussi, être classés en deux groupes suivant la fonction qu'ils sont appelés à remplir dans l’abaque, c'est-à-dire en fait suivant la nature des contacts auxquels ils appartiennent. C’est ainsi que nous appellerons ELEMENTS DE FIXATION et ELEMENTS DE RESOLUTION les éléments appartenant respectivement à des contacts de fixation ou de résolution.

Ici encore un même élément pourra jouer l’un ou l’autre rôle, suivant la fonction du contact dont il fait partie.

Les abaques à plans mobiles constituent, en fait, des abaques déformables. Chaque lecture dépend — comme dans les abaques à plan unique — des systèmes géométriques impliqués dans l'opération de résolution, mais aussi de la s/uation relative de ces systèmes dans les conditions particulières à la lecture considérée.

C'est seulement par l'emploi d’abaques à plans multiples que l’on peut obtenir des représentations nomographiques intrinsèques de relations dont le nombre de variables est élevé.

Eléments constitutifs

Les éléments géométriques dont on peut concevoir l'emploi dans les abaques à plans mobiles sont les POINTS — éléments sans dimension — et les LIGNES — éléments à une dimension. L'utilisation d’élé-

CO

ments à plus d'une dimension est exclue puisque ces éléments doivent pouvoir être tracés dans des plans.

Nous considérons la LIGNE comme étant l'élément fondamental de toute représentation nomographique.

À chaque variable sera associée, en principe, une famille de lignes cotées où FAISCEAU et il ÿ aura, dans le cas le plus général, autant

de faisceaux dans un abaque que de variables dans la relation qu'il représente.

Nous ne considérons pas le point comme élément fondamental de la représentation nomographique mais seulement comme un cas de dégénérescence de Ja ligne.

Il doit dès lors être entendu que ou nomogramme dans la comrposition duquel entrent des points sera regardé comme un cas particulier d'un abaque plus général dont tous les éléments géométriques seraient constitués bar des lignes.

Les familles de points cotés qui résultent de la dégénérescence des faisceaux de lignes cotées constituent des ECHELLES.

Outre les éléments cotés qui forment les faisceaux et les échelles il peut entrer, dans la constitution des abaques, des éléments ro» cotés — lignes ou points — généralement désignés sous le nom d'éléments constants.

Nous considérerons ces éléments comme résultant de la dégénérescence de faisceaux en ce qui concerne les lignes, d’échelles en ce qui concerne les points.

Le point non coté pourra aussi être considéré comme une dégénérescence d’une ligne non cotée.

Il sera encore entendu que /out abaque dans la constitution duquel entrent des éléments non cotés doit être considéré comme un cas particulier d'un abaque plus général dans lequel ces éléments seraient remplacés par des systèmes cotés.

La figure 1 montre la représentation nomographique d’une variable au moyen d’un faisceau de lignes cotées F, ainsi que les dégénérescences que peut subir ce système.

Comme l'indique le schéma le point (F’, F”) peut être considéré

comme dérivant de l'échelle E ou le la ligne F', ces deux éléments dérivant eux-même de F.

REMARQUE. — II résulte des considérations qui précèdent que nous n'utiliserons pas la notion de réseau où d'ensemble de points à deux cotes.

C'est ainsi que nous considérerons un système tel que celui qui est représenté par la figure 2 comme formé de deux faisceaux de lignes cotées, quel que soit le rôle que ce système puisse être appelé à jouer dans l’abaque auquel il appartient. Dans la conception de d'Ocagne, au contraire, 1l serait considéré comme un ensemble de points à deux cotes s’il intervenait, par exemple, dans la constitution d’un abaque à points alignés.

Fig

L'abandon de la notion de réseau permet de présenter la théorie des abaques sous un angle à la fois plus rationnel et plus général. Il nous paraît justifié par les faits suivants :

1° — Les points à deux cotes n'ont qu'une existence fictive. Ce sont des lignes qui, en fait, sont dessinées et utilisées dans un réseau. Les points d’intersection de ces lignes ne jouent un rôle effectif que lors de l'emploi de l’abaque, par leur intervention dans la réalisation

de contacts ponctuels.

Faire abstraction des lignes qui constituent un réseau pour considérer les points déterminés par leurs intersections nous paraît aussi absurde que de considérer, par exemple, un abaque à entrecroisement comme étant constitué d'un faisceau de lignes et d'un réseau de points

à deux cotes.

2° — Si l’on veut, à l'instar de ce qui a été fait pour les points à une cote qui constituent les échelles, faire dériver les points à deux cotes d'éléments « lignes » plus généraux, on voit que le réseau doit être considéré comme un cas de dégénérescence d’un ensemble owblement infini de lignes.

Un tel ensemble n'étant pas susceptible d'être utilisé dans la pratique on serait ainsi conduit à faire dériver les abaques comportant des réseaux, d’abaques plus généraux dont l'existence resterait purement

théorique.

Cet inconvénient ne se produit pas si l’on adopte le point de vue indiqué plus haut.

Contacts

Comme nous l'avons dit plus haut, l'emploi des abaques à plans multiples est basé sur la réalisation et la constatation de coïncidences géométriques ou contacts.

Les contacts dont l'emploi a été reconnu possible en pratique appar-

tiennent aux deux catégories suivantes :

1° — Les CONTACTS TANGENTIELS, dont le type général est caractérisé par le fait que deux lignes LA et L2 sont tangentes entre elles

(fig);

2° — Les CONTACTS PONCTUELS, dont le type général est caractérisé par le fait que trois lignes La, L2 et Ls sont concourantes (fig. 4).

Dans un contact tangentiel les deux éléments du contact peuvent appartenir à un même plan ou se trouver dans deux plans différents ;