DAS
dans un contact ponctuel les trois éléments peuvent appartenir à un, deux ou trois plans.
Tous les contacts qui n'appartiennent pas à l'un des deux types indiqués rentrent dans les catégories correspondantes à titre de cas particuliers ou de combinaisons plus ou moins particulières de ces types
généraux.
EXEMPLE I. — Le contact de deux points est un cas de dégénérescence du contact tangentiel de deux lignes.
EXEMPLE II. — Le contact de deux points définis chacun par l'intersection de deux lignes (contact appelé communément contact double) est une combinaison de deux contacts ponctuels ayant deux
lignes en commun.
EN
Du point de vue fonctionnel nous distinguerons, comme il a déjà été indiqué plus haut :
Due LES CONTACIS DEEE MONO OSE TION
servent à fixer, en vue des lectures à effectuer ensuite, les positions
relatives des différents plans constituant l'abaque ;
2° — Les CONTACTS DE RESOLUTION qui, une fois les plans fixés, interviennent dans les lectures proprement dites.
Caractères généraux - Terminologie
Il résulte de ce qui précède que tout abaque à plans mobiles superposés se caractérise essentiellement, quand le nombre de plans est donné, par ia nature de ses éléments {point de vue géométrique) et par ses conditions d'emploi (point de vue cinématique).
Nous dégagerons les caractères les plus généraux des représentations nomographiques à plans multiples, par l'examen des possibilités relatives à ces deux facteurs.
Point de vue nature des éléments.
Au point de vue de la nature des éléments nous distinguerons les
abaques dont tous les éléments sont des lignes cotées et les abaques qui renferment des éléments dégénérés ou des éléments constants.
Nous appellerons :
— ABAQUES COMPLETS les abaques dont tous les éléments sont des lignes cotées, à l'exclusion de tout élément dégénéré ou constant ;
— ABAQUES DEGENERES les abaques dans lesquels certaines lignes, cotées ou non, ont dégénéré en points ;
— ABAQUES DERIVES les abaques dans la constitution desquels
entrent un ou plusieurs éléments constants.
Il sera entendu également que, pour pouvoir être qualifié de complet dans l’acception que nous donnons à ce terme, un abaque ne pourra présenter aucune singularité qui soit susceptible d'entraîner une réduction du nombre d'éléments. 1/ ne pourra, en particulier, comporter que des contacts simples.
Un abaque dégénéré, par contre, peut comporter moins d'éléments que l'abaque dont il provient.
Enfin tout abaque qui comporte des éléments constants sera dit dérivé de l'abaque plus général dans lequel ces éléments seraient remplacés par des familles d'éléments cotés.
Un abaque peut évidemment être à la fois dérivé et dégénéré. C’est le cas, par exemple, pour les abaques comportant des points constants (cas de dégénérescence et de dérivation portant sur un même élément), pour les abaques comportant des échelles et des lignes constantes (cas de dégénérescence et de dérivation portant sur des éléments
différents), et ainsi de suite.
Point de vue conditions d'emploi.
Au point de vue des conditions d'emploi nous devons considérer la nature des contacts, les conditions de mise en place des plans et le
nombre d'opérations de résolution qu'implique une lecture effective.
Pour le premier facteur nous adopterons la terminologie qui est
LIN CNES
classique dans l'étude des abaques à un et à deux plans. Elle s'applique sans modification aux abaques dont le nombre de plans est quelconque. Nous désignerons ainsi successivement par :
— ABAQUES À CONTACTS TANGENTIELS, ou d'une manière plus concise abaques tangentiels, les abaques dont tous les contacts sont de nature tangentielle ;
— ABAQUES A CONTACTS PONCTUELS, ou encore abaques ponctuels, les abaques dont tous les contacts sont de nature ponctuelle ;
— ABAQUES MIXTES, les abaques qui comportent à la fois des contacts ponctuels et des contacts tangentiels.
Pour le second facteur — conditions de mise en place des plans — nous devons envisager deux cas :
er
CAL CHNaqUe plan peut être positionné par rapport à l’en-
semble des plans mis en place avant lui.
2% cas. — Certains plans doivent être groupés préalablement à leur mise en place, les ensembles de plans ainsi formés pouvant être fixés
par rapport aux plans qui précèdent.
Nous appellerons :
— ABAQUES A PLANS INDEPENDANTS les abaques dont tous les plans peuvent être fixés individuellement les uns après les autres (1°" cas ci-dessus);
— ABAQUES À PLANS GROUPES les abaques dont l'emploi exige que l'on constitue certains groupes de plans ayant leur structure propre et devant être considérés ensuite comme des unités indépendantes (2° cas ci-dessus).
On conçoit que l'indépendance ou la non-indépendance des plans puisse être affectée, en principe, par l’ordre choisi pour la mise en place des plans. Nous nous bornerons ici à énoncer cette remarque, nous réservant de revenir plus loin sur ce point.
Attirons l'attention sur le fait que nous ne considérons pas dans ce
ind
travail le cas des abaques pour lesquels le positionnement des plans exige certains tâtonnements.
Pour le troisième facteur enfin — nombre des opérations de résolution — nous pouvons conserver la terminologie classique et appeler :
— ABAQUES SIMPLES les abaques pour lesquels l’opération de résolution est unique ;
— ABAQUES COMPOSES les abaques dont l'emploi implique plusieurs opérations successives et qui sont en fait constitués d'une chaîne d'abaques simples présentant chacun leurs caractères particuliers.
En connexion étroite avec le mode d'emploi nous grouperons encore les abaques en deux classes, compte tenu de leurs possibilités quant aux variables qu'ils permettent de déterminer.
Nous appellerons :
— ABAQUES À RESOLUTION TOTALE les abaques dans lesquels toutes les variables peuvent être prises comme inconnues ;
— ABAQUES A RESOLUTION PARTIELLE les abaques dans
lesquels certaines variables seulement peuvent être prises pour inconnues.
Alors que pour les abaques à plan unique la résolution partielle n'apparaît que dans le cas où il existe des systèmes surabondants, les abaques à plans multiples peuvent être du type à résolution partielle sans comporter de tels systèmes.
Nous appellerons enfin :
— ABAQUES GENERAUX les abaques exempts de toute particularité de ligne ou de contact susceptible de les distinguer des types
fondamentaux de leur groupe ; — ABAQUES SPECIAUX les abaques qui ne présentent pas Île caractère qui vient d’être indiqué.
Les abaques considérés dans la suite de ce travail sont des abaques
généraux.
Relation entre le nombre n des plans d'un abaque et le nombre N des variables de la relation représentée
Soit un abaque à n plans et une relation à N variables représentée par cet abaque. Nous nous proposons d'établir la relation qui lie N à n dans l'hypothèse ou l’abaque est COMPLET et non composé.
Le nombre des variables que peut comporter une relation représentée par un abaque d'un type donné est évidemment égal au nombre des systèmes cotés non surabondants qui entrent dans la constitution de cet abaque. Nous allons déterminer ce nombre en nous plaçant dans l'hypothèse donnée.
Un plan possède, par rapport à un autre plan sur lequel il peut glisser, frois degrés de liberté. Or, tout contact simple — ponctuel ou tangentiel — que l’on établit entre ces plans abaisse de re unité le nombre de ces degrés de liberté. Il faudra donc, pour fixer un plan par rapport à un autre plan ou par rapport à un groupe de plans formant bloc, fro/s contacts du type envisagé.
La réalisation de ces contacts implique l'intervention de deyx ou de rois éléments par contact, suivant qu'il s’agit d'un contact tangentiel ou ponctuel. Il en résulte qu'il faut prévoir un nombre total minimum de 6 éléments de fixation et un nombre maximum de 9 éléments par plan à positionner.
Comme dans un abaque à n plans il faut, pour que l’ensemble des plans forme bloc, fixer directement ou indirectement (n
1) plans par rapport au n°, les éléments de fixation doivent être au nombre de G(n—1) au moins et de 9 (n—1) au plus.
Considérons maintenant les éléments de résolution. Nous avons supposé que l’abaque considéré est du type #07 composé. L'hypothèse de l’'unicité de l'opération de résolution implique que l'abaque ne comporte qu'un contact de résolution. Ce contact sera constitué de deux ou de trois éléments, suivant qu'il s'agira d'un contact tangentiel ou d’un contact ponctuel.
il y aura dès lors en tout, dans un abaque complet non composé
A One
à n plans, 6 (n— 1) ++ 2 systèmes cotés au moins et 9 (ES ARS . Systèmes cotés au plus. Et l’on peut dès lors écrire
ou encore, en désignant par N min. et N max. les nombres minimum et maximum de variables représentées,
N min. — 2 (3n — 2) N max. — 3 (3n —2)
Nous croyons utile d’insister sur le fait que ces formules ne con: cernent, conformément à la définition des abaques complets qui a été donnée à la page 25, que les représentations nomographiques absolument générales.
Structure générale et propriétés du champ nomographique
Nous avons dressé, à partir des formules qui viennent d’être établies, un tableau qui donne, pour différents nombres de plans, les nombres minimum et maximum des variables qui peuvent être représentées (voir Tableau 1).
L'examen de ce tableau permet de dégager quelques propriétés importantes des représentations nomographiques complètes.
PROPRIETE I. — J/ existe certains nombres de variables pour lesquels il n'y a aucune possibilité de représentation nomographique complète non composée.
Le tableau montre en effet cette propriété remarquable, que les relations à 4, 5, 6, 7, et 13 variables ne peuvent pas être représentées
par des abaques complets non composés.
PROPRIETE II. — L'augmentation des possibilités pour le nombre
de plans en fonction du nombre des variables n'est pas monotone.
Riche
2 3 2 L 8 12 3 | 4 21 4 20 30 de 5 26 39 6 32 48 [l 38 57 ae etc. etc.
Tableau I.
