III. — Courbes en général

20. Nous ne ferons pas la théorie complète des courbes en u et v, qui est identiquement la même que celle des courbes en x et y lorsqu'on y permute les éléments point et droite.

Ainsi, le point de contact de la tangente (i^, y,) a pour équation

et la recherche des tangentes à une courbe, issues d'un point donné, sera la même que celle des points de rencontre d'une courbe et d'une droite en coordonnées or-

( -6) dinaires. >~ous n'avons pas à insister sur ces questions, qui rentrent dans le domaine des propriétés générales des systèmes de coordonnées tangentielles; mais nous devons faire ici quelques remarques spéciales au système qui nous occupe.

En premier lieu, remarquons que, les tangentes aux points de rencontre de la courbe F(i/, v) = o et de la droite (u f , p<) étant données par la résolution du système d'équations

f(m, *o = o, «iF;, — c,f;— f; = o,

où t est une variable, introduite pour l'homogénéité, et que Ton fait ensuite égale à i , on aura les u des points de rencontre de la courbe avec l'axe A u en résolvant le système d'équations

et les e des points de rencontre avec Be en résolvant le

système

21 . Remarquons maintenant que les tangentes parallèles à une direction donnée sont obtenues par la résolution du système d'équations

où k est une constante donnée.

Pour les tangentes parallèles à l'axe des origines, A = o.

Mais une droite parallèle aux axes de coordonnées ne saurait être définie par les coordonnées u et p. Toutes les droites parallèles aux axes, passant, en effet, par le point de rencontre de ces axes (situé à l'infini), ont même u et même e, tous deux infinis. Nous définirons de telles droites par leurs distances a l'un des axes,

( '7) comptées parallèlement à Taxe des origines, et que nous appellerons leurs abscisses, rapportées à l'axe considéré. Proposons-nous dès lors de déterminer les tangentes

à la courbe

(équation algébrique de degré m), parallèles aux axes.

Etablissons d'abord un lemine.

L'équation algébrique, de degré m, la plus générale en u et p, peut s'écrire

o = A f>" l -M>" | - , (Bif*-f- B )

-+- P m - 2 (CjMÎ+CtM + CoJ-H...

Divisons par v m ,

(P m M'»-hP /tt -,W'"-»H-...-hPo).

Si l'axe An est tangent à la courbe, ses coordonnées vérifieront cette équation ; or les coordonnées de cet axe se composent d'une valeur finie quelconque h pour u et d'une valeur infinie pour v. L'équation précédente devra donc être vérifiée par

ce qui exige que

et la réciproque est évidente.

Soit donc maintenant à trouver les tangentes parallèles aux axes, pour la courbe

Conservant le même axe B*>, transportons Taxe Au parallèlement à lui-même de la quantité a comptée le long de Taxe des origines, le point A restant sur cet axe.

Pour avoir la nouvelle équation de la courbe, appliquons les formules (6) et (&) du n° 7 en y faisant P = o, ce qui donne .

du\ — %V\

a— cl

L'équation demandée sera donc

o=A.c+»r'(B,i^Er' + B '

Déterminons a par la condition que le nouvel axe A m" soit tangent à la courbe; pour cela, d'après le lemme précédent, annulons le coefficient du terme en y™, ce qui donne

* Y p / a Nm

O = A -h Bi -+- C 2 ( -} ) -h ... -4- P m I — — > I >

équation du degré m en a dont les m racines a<, a 2 , ..., oi m déterminent autant de tangentes parallèles h Au.

Posant

d'où

dz

nous pourrons énoncer ce résultat de la manière suivante :

Appelant a M a 2 , . . . , a m /e5 abscisses, rapportées à

( >9 ) l'axe Au, des tangentes parallèles aux axes de coordonnées, pour la courbe de la classe m,

F(â, p) = o, ces abscisses seront déterminées par

(i prenant toutes les valeurs i, 2, ..., m), z K , z 2 , . .., z m étant les racines de l'équation que Von obtient en remplaçant, dans V ensemble homogène des termes de degré m de F (a, y), u par z et v par 1, et en égalant ce polynôme à zéro.

On déduit de là, comme corollaire, que la condition nécessaire et suffisante pour que deux courbes de la classe m aient les mêmes tangentes parallèles aux axes de coordonnées est que les équations de ces courbes contiennent la même partie homogène de termes de degré m. Nous utilisons plus loin cette remarque.

22. Dans le problème précédent, nous nous sommes seulement occupé de rechercher les droites, parallèles aux axes de coordonnées, qui sont tangentes à la courbe; mais on peut aussi se proposer de trouver les équations des points de contact de ces droites et de la courbe.

Il est aisé de déduire ce résultat de celui qui vient d'être obtenu, mais nous allons faire voir qu'on peut l'établir sans calcul, par une remarque bien simple.

Nous avons vu (n° 11) que le point à l'infini dans la direction des axes a pour équation C = o -, il est donc corrélatif de la droite de l'infini en coordonnées ordinaires : par conséquent, le problème qui consiste à trouver les points de contact des tangentes à une courbe, issues de ce point, est le même que celui qui consiste,

( «o ) en coordonnées ordinaires, à trouver les tangentes à une courbe, en ses points d'intersection avec la droite de l'infini, c'est-à-dire à trouver ses asymptotes. Par suite, on voit que :

L'équation de la courbe étant écrite, en groupant les ternies de même degré,

on aura les équations des points de contact de toutes les tangentes parallèles aux axes de coordonnées par la formule

(i prenant toutes les valeurs i , 2, . . . , m), où Z( est racine de V équation

C'est, en effet, ce que Ton obtient par une recherche directe.

23. asymptotes. — On voit immédiatement que les coordonnées des asymptotes, tangentes dont le point de contact est rejeté à l'infini, sont données par la résolution du système des deux équations

F^*, v) = o et