DU DEUXIEME DEGRÉ
24. Equation générale et équation réduite. — L'équation générale des courbes du deuxième degré, dans ce système de coordonnées, est
A u- -h 7. B uv -+- G v 2 -h 2 D u -+- 2 E ç -h F = o.
On peut mettre cette équation sous une forme simple par un choix convenable d'axes de coordonnées.
Conservant d'abord le même axe des origines, prenons pour nouveaux axes de coordonnées les tangentes à la courbe, parallèles aux axes primitifs.
A cet effet, appliquons les formules de transformation du n° 7 et annulons (n° 21) les coefficients des termes en u 2 et v 2 . Cela donne
A(rf-4- p)»+ 2Bp(c?-h P) -+- Cp* = o et
AaS-2Ba(û?-a) + G(rf-a)î = o,
l'abscisse (3 étant comptée à partir de B*', et a à partir de Au. Rapportons les deux abscisses à l'axe A u, en
posant
P' = rf+P;
nous avons ainsi, au lieu de la première équation,
A P'« — 2B £'(rf - p') + C(rf — p') 2 = o.
Donc les abscisses a et (3' des tangentes parallèles aux axes, rapportées à l'axe Au, sont les racines de l'équation
A** — iBz(d — z)-{-G(d — z)*=o ou
(A + aB+G)j«-arf(B + C),8 + G#=:o.
Discutons cette équation.
Si C = o, l'une des racines est nulle et l'axe Au est tangent à la courbe, ce que nous savions.
Si B 4- C = o, les deux racines sont égales et de signes contraires; par suite, le centre de la courbe est situé sur A m. On verrait de même que, si A H- B = o, le centre est sur Bç\
SiA-h2B-f-C = o, l'une des racines tend vers l'infini, c'est-à-dire qu'une des tangentes parallèles aux axes
est rejetée l'infini. La courbe est donc alors une parabole.
Si(B + C) 2 — (A-+-2B-f-C)C=B2 — AC = o, les deux racines sont égales; les tangentes parallèles aux axes se confondent; la courbe est alors une hyperbole; les tangentes confondues donnent une asymptote.
Supposons que les deux tangentes soient distinctes et à distance finie. En les prenant pour axes de coordonnées, nous mettrons l'équation de la courbe sous la
forme
MMe-h3VM-hP*>-t-Q = o.
Conservant maintenant les axes de coordonnées, changeons les origines en les transportant aux points de contact des nouveaux axes avec la courbe.
A cet effet, appliquons les formules de transformation du n° 6, et annulons les coefficients des termes en u et y; cela donne
et l'équation de la courbe devient, après réduction,
NP
ou
j\P— MQ
uv
Telle est donc l'équation réduite des coniques à centre, en coordonnées parallèles.
25. Nature de la courbe. — Laissons de côté, pour le moment, cette forme simplifiée de l'équation des coniques, et voyons à quel caractère on peut reconnaître la nature d'une courbe du deuxième degré donnée.
( * ) Reprenons l'équation générale
Cherchons les tangentes parallèles à une direction
donnée pour laquelle
les v de ces tangentes seront donnés par
\(s> — k)*-hiBv(v — k)
-f- Ce 2 -t- 2D(p — k) -+- aEi> -+- F = o, ou
-+-2[— (A-+-B)A-+-D-+- E]p + A^-2DA'+F = o.
Nous voyons d'abord que, si A H- 2B -h C = o, une des racines v, quel que soit #, est inGnie} Tune des deux tangentes parallèles à la direction donnée est rejetée à l'infini; la courbe est alors, comme d'ailleurs nous l'avons déjà vu, une pcu'abole.
Supposons maintenant A -h 2B -+- C différent de o ; la réalité des racines t> dépend du signe de
<p(rt) = [-(A+B)* + D + Ep
