AE* - 2BDE + CD* -+- F(B* - AG) = A
discriminant de l'équation de la conique.
Posons
La valeur de [/. pourra alors s'écrire
{x = FA.
Supposons A différent de o, c'est-à-dire que Ja conique ne se réduise pas à un système de deux points.
Alors, si [x ^> o, le trinôme <p(A~) a ses racines réelles; par suite, quand on donne à k toutes les valeurs possibles, ce trinôme est tantôt positif, tantôt négatif; il en résulte que l'équation en v a, pour certaines valeurs de A, ses racines réelles, pour d'autres valeurs de A", ses racines imaginaires; la courbe est une hyperbole. Les racines de l'équation <p(A) = o donnent alors les directions asympto tiques.
En particulier, si B 2 — AC = o, la valeur de jx, prise sous sa première forme, se réduit à
(x = [(A + B)E-(B + G)Dp,
quantité essentiellement positive; on a, par suite, une hyperbole; d'ailleurs, dans l'équation
le coefficient du terme en k 2 s'annulant, une des racines devient inGnie, c'est-à-dire que la direction des axes de coordonnées est direction asymptotique. Nous avons déjà obtenu ce résultat au n° 24.
Considérons maintenant le cas où [x = o, ou , puisque A est supposé différent de o, le cas où r = o. L'équation
( *5 ) a, dans ce cas, ses racines égales; les deux directions
asymptotiques sont confondues; la courbe est une parabole.
Si [Ji <^ o, le trinôme cp (A") a ses racines imaginaires; il conserve donc, pour toute valeur de Zr, le signe de son premier terme; par suite, si B 2 — AC^>o, le trinôme est constamment positif, l'équation en v a toujours ses racines réelles ; on a une ellipse réelle; si B 2 — AC <^ o, le trinôme est constamment négatif, l'équation en v a toujours ses racines imaginaires ; on a une ellipse imaginaire.
Résumons cette discussion :
Les fonctions des coefficients de l'équation du second degré, caractéristiques de la nature de la conique représentée par cette équation, sont les suivantes :
AE* — aBDE -h CD* -+- F( B* — AG) = A,
B2 AG = û.
Si A = o, le premier membre de l'équation se décompose en un produit de facteurs linéaires : on a un système de points.
Si A est différent de o :
TA > o hyperbo!e r
T = o parabole,
8 > o réelle,
maginafrc.
TA < o ellipse \ «, ^ .
26. Centre. — Le v de la droite médiane des deux tangentes, parallèles à la direction Zr, est donné par la demi-somme des racines de l'équation en ç ,
quant à I'm, il résulte de la formule
L'élimination de k entre ces deux équations donne l'équation de la courbe enveloppée par cette droite médiane. On trouve
c'est l'équation d'un point. La droite médiane de deux tangentes parallèles est, en effet, un diamètre } l'équation que nous venons d'obtenir est celle du centre de la courbe.
Si (A-f-B) -h (B-j- C) = A-f- aB + C = o, ce point est à l'infini; nous retrouvons ainsi la condition déjà obtenue par d'autres considérations, pour que la courbe soit une parabole.
Si A-f-B = o, le centre se trouve sur l'axe Bp; si B -H C = o, il est sur l'axe Ku\ conditions déjà trouvées d'une autre manière au n° 24.
Si D + E = o, le centre est sur l'axe des origines.
Remarquons que, en écrivant l'équation de la courbe
F(a, «0 = o, l'équation du centre peut s'écrire
27. Directions conjuguées. — Cherchons maintenant la direction conjuguée d'une direction donnée, c'est-à-dire la direction de la droite qui joint les points de contact des deux tangentes parallèles à une direction donnée.
La direction d'une droite, ainsi que nous l'avons déjà vu, est caractérisée par la différence des coordonnées de cette droite.
Pour toute droite parallèle à la direction donnée, nous
avons
pour toute droite parallèle à la direction conjuguée,
Le problème revient à trouver la relation qui existe entre k et k t .
Menons par le centre de la conique donnée
F(a, p) = Am 2 +2Bw+Gp î +2Dm + 2Ep+F = o,
une droite dont les coordonnées sont u t et v { . On a
F Kl -4- F^ = o.
Cette droite coupe la conique en deux points où les tangentes sont parallèles. Ces tangentes passent par le point dont l'équation est
MF^-f- vF'^-h F' (l = o
ou, d'après l'égalité précédente,
(u — v)F' Hl +Ft t = o,
point qui est situé àl'inGni.
On a donc, en appelant k le coefficient qui détermine la direction de ces tangentes, %
F' tt Dih-+-Epi-+-F
F Ul Attt + B^ + D
Or M| et V\ sont liés par les relations
(A h- B)u t H- (B -+- G)Pi -h D -h E = o et
d'où l'on tire
