A + BU,-(D + E

Port a ut ces valeurs de a, et v % dans l'expression de À, on a, après réduction,

( B* — AC jU-, - p A -B'E- < B — C)D]( k -h *i)

-^[(D-î-Ei*— F(A-r-aB + C)]=o.

Telle est la relation qui lie les constantes À et k t , définissant deux directions conjuguées dans la conique considérée.

28. Axes. — Pour déterminer les axes, on adjoindra à l'équation précédente la formule (4) du n° 4

d 1 -h kk x -f- d( k -+- k t ) cosô = o,

qui exprime la perpendicularité des directions définies par À et À~ f9 d étant la distance des origines et l'angle des axes de coordonnées avec l'axe des origines.

En éliminant À 1 entre ces deux équations, on a une équation du second degré en À, dont les racines donnent les valeurs de k etÀ M puisque les deux premières équations sont symétriques en À et k t .

29. Axe de la parabole. — Dans le cas de la parabole, Taxe se détermine très aisément. L'équation du centre, situé à l'infini, peut s'écrire, en tenant compte de la condition A-+-2B-f-C = o,

(A -f- B)(tt -p) + D + E = o;

d'où l'on lire

La direction de l'axe est ainsi déterminée.

Si D + E = o, l'axe est parallèle à l'axe des origines. Si A -h B = o, il est parallèle aux axes de coordonnées.

( *9) Si l'on a, à la fois, À -f- B = o et D-f-E = o, on voit, en tenant compte de la condition A -f- *iB -f- C = o, que l'équation prend la forme

A(w-p) î + , iD(a — p) h- F = o;

elle représente alors un système de deux points situés à l'infini.

30. Cercle. — Reprenons la relation qui lie les coefficients k et ki de deux directions conjuguées

(B* — AG)A:A: I + [(B-hC)D — (A -4- B)EJ(# -+- *,)

Si la conique est un cercle, la direction définie par k { est perpendiculaire à la direction définie par Zr, quel que soit A*. L'équation précédente doit donc être identique à la condition de perpendicularité

kk x -\-d(k'-+- £,)eosO -±- d* = o; par suite, ou doit avoir