VIII. — Applications

48» Trouver une courbe pour laquelle le segment de la tangente compris entre le point de contact et l'axe Ox ait une longueur constante /. — Cette courbe est celle que décrit un point lié par un fil inextensible à un point qui se meut sur une droite indéfinie; de là le nom de tractrice.

La formule (5) (n° 44) donne immédiatement pour l'équation différentielle de la courbe

, cfk . A ,. / c?8

t=~iû sin " ou rf À = -7— r-

aQ sin

Intégrons, en faisant en sorte que \ = o pour 6 = ? -

A = J.Ltang- ou e' = tang-«

Telle est l'équation de la tractrice.

Cette courbe (fig- 9) présente un point de rehaussement A sur la perpendiculaire OY à OX et s'étend symétriquement de part et d'autre de cet axe en tendant

(') Voir la Note III.

asymptotiquemcut vers l'axe OX. On a

dX dû

sinô

d*\ — / cos6 d¥ = sm 2 e '

par suite, la formule (6) donne pour le rayon, de courbure

r = JcotÔ,

ce qui moutre que le centre de courbure est au point de rencontre I de la normale à la courbe et de la per-

pendiculaire TI à Ox, résultat qu'il était bien aisé de prévoir.

Cherchons la longueur de Tare, comptée à partir du point de rebroussement A. La formule (7) donne

s= 1 /cot6 db = Z.L sin6.

Évaluons maintenant Taire OAMT ; nous avons, d'après la formule (8),

/*de =

Or traçons du point O comme centre un cercle de rayon égal à /, c'est-à-dire passant par le point A, et

tirons la droite OB parallèle à MT; nous avons

AOB = 6 — -

donc

aire secteur AOB

par suite,

aire OAMT = aire OAB.

Si nous voulons avoir Taire OAMP, il suffit de retrancher de Taire précédente celle du triangle MTP; et comme ce triangle est égal à OBR, on voit que

aire OAMP = aire ABK.

11 résulte de Tune ou Tautre de ces expressions que Taire totale comprise entre la tractrice et Taxe Ox est égale à Taire du demi-cercle OA A Ai .

49. Trouver une courbe telle que la portion TI ( fi g* io) de la perpendiculaire àOx menée par le pied. T de la tangente, et limitée, d'une part à Ox, de l'autre à la normale correspondante, ait une longueur constante L — Nous avons vu (n° 44) que

par suite,