Théorème

Les trois hauteurs d'un triangle inscrit dans une hyperbole équilatère se coupent en un même point de cette courbe.

82'. Théorème corrélatif :

Les trois points hauteurs d'un triangle circonscrit à une conique dont les points asymptotes sont perpendiculaires sont situés sur une même tangente à la courbe.

( l ) Ces deux derniers théorèmes ont été proposés comme Questions dans les Nouvelles Annales (3 e série, t. II, p.|479> Question 1473).

( 7' ) Nous pourrions multiplier ces exemples de transformation des propriétés angulaires au moyen de notre méthode; mais nous pensons en avoir assez dit sur ce sujet.

Note sur la transformation des propriétés

batycentriques.

83. Nous avons déjà donné des exemples de cette transformation au Chapitre V. Nous demanderons la permission de faire sur ce sujet une petite remarque.

La droite que nous avons appelée moyenne d'un système de droites (n° 5) peut recevoir une définition géométrique indépendante du système spécial de coordonnées que nous envisageons \ la voici :

La droite moyenne, par rapport à une direction donnée d'un système de droites situées d'une manière quelconque dans un plan, est le lieu du centre des moyennes distances des points oh les droites données sont coupées par une sécante parallèle à la direction donnée.

Les coordonnées parallèles permettront évidemment de déduire toutes les propriétés de cet élément géométrique des propriétés établies en coordonnées ordinaires pour le centre de gravité d'un système de points.

84. Un seul exemple, joint à ceux qui ont déjà été donnés (n° 37), suffira à faire comprendre la manière d'opérer cette transformation.

Coordonnées rectangulaires :

Quand un triangle se déplace en restant inscrit dans une conique et circonscrit à une parabole, son centre de gravité décrit une ligne droite.

Quand un triangle se déplace en restant circonscrit à une conique et inscrit dans une hyperbole ayant une asymptote parallèle à Yu et Xv {*), la droite moyenne de ses trois côtés passe par un point fixe.

( » ) Voir n° 68.

( 7* ) Ce théorème corrélatif pourra s'énoncer plus simplement :

Quand un triangle se déplace en restant circonscrit à une conique et inscrit dans une hyperbole H, la droite moyenne de ses trois côtés, relativement à Vune ou Vautre des directions asympto tiques de l'hyperbole H, passe par un point fixe.

85. On voit qu'on a ainsi un moyen d'obtenir sans calcul une série de théorèmes intéressants*

C'est, en particulier, par cette méthode que nous sommes arrivé à tous les théorèmes donnés sans démonstration dans notre Note Sur la droite moyenne d'un système de droites ( f ). Nous avons, dans les transformations qui nous ont conduit à ces théorèmes, fait usage de plusieurs des principes qui viennent d'être exposés. Aussi renverrons-nous le lecteur à ce travail.

Résumé.

86. La méthode qui vient d'être développée permet, étant donnée une propriété segmentaire, angulaire ou barycentrique quelconque, d'en déduire immédiatement et sans calcul une propriété corrélative. Nous avons vu, en outre, quelles étaient les remarques qui permettaient de traduire l'énoncé de ces théorèmes en faisant abstraction de la considération des coordonnées parallèles qui auraient servi à les obtenir.

( l ) Bulletin de la Société mathématique, t. XII, p. n4*

PROCÉDÉ NOUVEAU DE CALCUL GRAPHIQUE FONDÉ SUR L'EMPLOI DES COORDONNÉES PARALLÈLES.

L'emploi de la méthode graphique pour effectuer certains calculs, qui se rencontrent dans la pratique et qui n'exigent pas une très grande approximation, est à la fois commode et expéditif. Il permet de substituer à des opérations longues et compliquées une simple lecture sur un Tableau, parfois complétée par un tracé fort simple, ce qui, d'ailleurs, n'est pas le cas pour notre procédé.

Dès 1846, M. Lalanne qui, depuis, a doté la Science de l'Ingénieur de tant d'autre6 précieuses découvertes, proposait une méthode de résolution graphique des équations numériques ( 4 ). Voici le principe de cette méthode, exposé sur le cas de l'équation

z n -\-pz-\- q = o,

le seul qui intéresse la pratique, et encore lorsqu'on y fait n = 2 ou n = 3 .

Dans l'équation

z n -\-pz -+- q = o,

donnons à z une certaine valeur a, et remplaçons p et q par les variables x et y. Nous aurons

expression qui peut être considérée comme l'équation d'une droite rapportée à deux axes Ox et Ojr. Si l'on fait varier le paramètre a, la droite représentée par cette équation se déplacera en restant tangente à une

( ' ) Annales des Ponts et Chaussées.

( 74 ) certaine courbe E, son enveloppe. Supposant cette courbe tracée, on voit immédiatement ce qu'il y a à faire, pour résoudre une équation

z n -hpz -+- q =o donnée.

On prend le point dont les coordonnées sont x=p, y = q^ par ce point on tire les tangentes que l'on peut mener à la courbe E. Les valeurs du paramètre a correspondant à ces diverses tangentes sont égales aux racines réelles de l'équation proposée. Pour obtenir ces valeurs, il suffit de remarquer que le paramètre a correspondant à une tangente donnée est égal au paramètre angulaire de cette tangente, changé de signe.

M. Lalanne trace d'avance, à la courbe E, qu'il nomme solulive, un certain nombre de tangentes à côté desquelles il inscrit la valeur correspondante du paramètre a ( * ) ; si l'on prend alors le point dont les coordonnées sont x = p,y = q, on voit quelles sont celles des tangentes tracées qui se rapprochent le plus de celles qui sont issues de ce point, et Ton en déduit, par une approximation à l'œil, les valeurs du paramètre a répondant à ces dernières, c'est-à-dire les racines de l'équation proposée.

En fait, le procédé de M. Lalanne se réduit à ceci : une courbe E est tracée sur un plan} l'équation donnée détermine un point dans ce plan-, les tangentes à la courbe E, issues de ce point, font connaître les racines de l'équation. Or on ne peut, en toute rigueur, mener à une courbe graphique des tangentes par un point ; on ne sait déterminer ces tangentes qu'approximativement -,

( ' ) Les tangentes toutes tracées compliquent un peu le Tableau ; on verra qu'elles sont inutiles dans notre procédé, qui ne repose que sur l'emploi des points de notre nouvelle solutive.

(75 ) il n'en est pas de même des points de rencontre de cette courbe avec une droite, le tracé même de cette droite déterminant les points où elle coupe la courbe.

Cette idée, très naturelle, nous a conduit à chercher de nouvelles solutives donnant les racines des équations proposées par la simple rencontre de ces courbes avec des droites correspondant à ces équations.

Nous y sommes arrivé très aisément au moyen des coordonnées parallèles, et Ton verra que le procédé qui en résulte est des plus simples. Nous ajouterons que c'est cette recherche qui a été l'origine du travail qu'on vient de lire.

Donc, dans l'équation

z n -h pz ■+- q = o,

remplaçons z par a, p et q par u et y. Nous avons

expression qui peut être considérée (II, H) comme l'équation d'un point P rapporté à deux axes parallèles AuetBp. Ce point peut être très aisément construit. En effet, si p est le point où la parallèle aux axes, menée par ce point, coupe la droite AB, on a [formule (8)]

ce qui détermine la droite Pp.

Si la droite AP coupe Bç> en B', on a

(6) BB' = — a»,

et, si la droite BP coupe Au en A', on a

On peut donc, au moyen des formules («), (&), (c), construire les droites P/>, AP et BP; deux de ces droites suffisent pour déterminer le point P.

Pour que la construction soit plus facile, on prendra des axes Au et BV primitivement gradués.

Si l'on veut faire usage de la formule (a), on opérera de la manière suivante : on joindra le point coté ( — 2) sur l'axe Bf au point "coté 1 sur Taxe Au-, la droite ainsi menée coupera, d'après la formule (a), la droite A6 au point p correspondant.

Mais, dans le cas du deuxième et du troisième degré, on peut très aisément se servir des seules formules (&) et (c) en employant une Table des carrés et des cubes, ce qui évite toute espèce de calcul ( '). Lorsque a devient trop grand et que l'on sort des limites de la graduation, on n'a qu'à se servir de cette remarque que AP coupe la parallèle équidistante de Au et Be au point coté

( ) y et que BP coupe cette parallèle au point coté

Quoi qu'il en soit de la manière d'opérer ( et ce que nous venons de dire suffit largement sur ce sujet), on obtient une série de points à côté desquels on a soin d'inscrire la valeur de a correspondante. D'ailleurs, il suffit de considérer les valeurs positives de a \ cela a l'avantage de supprimer tous les points extérieurs aux axes et, par suite, de réduire de beaucoup ies dimensions du Tableau 5 on en sera quitte pour chercher les racines négatives des équations comme racines positives de leurs transformées en — z.

On obtient donc une série de points cotés. Ces points sont distribués sur une certaine courbe qu'il est facile

(') Nous avons construit de cette manière la solutivede la courbe du troisième degré représentée sur la Planche qui termine le volume, et nous avons pu nous convaincre que ce procédé est aussi commode que rapide.

( 77 ) de tracer. C'est cette nouvelle courbe que nous appellerons la solulive de l'équation

z n -\-pz-h q — o,

et nous la représenterons par C n ( * )•

Quel que soit /z, la courbe affecte la même forme générale (Jîg- i4) 5 elle part du point Btangentiellementàla

Fig. i' 4 .

droite AB et s'infléchit graduellement et d'une manière continue pour tendre asymptotiquement vers la partie négative de l'axe Au.

Le point coté 1 est le même sur toutes les courbes C«. Ce point est à égale distance des axes Au et B*> sur la droite u = v = — i •

Voilà donc notre Tableau graphique construit. Nous le compléterons par un transparent sur lequel nous aurons marqué une droite d'un trait fin; ce détail pratique est d'une grande importance ; il permet de ne point

(') Remarquons que, si ?(/?, q) = o est la condition pour que l'équation z n -\-pz ■+- q = o ait une racine double, l'équation de la courbe C„ est <p(a, v) = o.

( 7») tracer sur le Tableau des traits de crayon qui ne tarderaient pas à l'obscurcir et à le mettre hors d'usage. Pour résoudre l'équation

z n -\-pz -4- q =o,

oùp et q ont des valeurs déterminées, on place le transparent sur le Tableau où est dessinée la courbe C w , de manière que la droite marquée sur ce transparent passe par le point de l'axe Au coté p et par le point de Taxe B*> coté q. Les cotes des points où cette droite coupe C n donnent les racines positives de l'équation proposée. Pour avoir les racines négatives, il suffit de prendre la transformée en — z, ce qui se fait en changeant p en — p si n est pair, q en — q si n est impair. Nous résumerons ainsi ce qui précède :

n pair : Les racines positives sont données par la droite (u =/>, f = 7). Les racines négatives sont données par la droite (u = — p, v =q).

n impair : Les racines positives sont données par la droite (w = p,v = q). Les racines négatives sont données par la droite (a = j?, v = — q).

Remarquons en passant qu'il résulte nettement de ces constructions que l'équation

z n -\-pz-h q = o

ne peut avoir plus de deux racines réelles, si n est pair, plus de trois, si n est impair, ainsi que le montre d'ailleurs l'application du théorème de Rolle.

La courbe C n étant graduée, on lit immédiatement les cotes des points qui font connaître les racines cherchées, mais on peut supposer que les axes Au et Bv soient seuls gradués : dans ce cas, on peut avoir la cote a correspondant à un point P pris sur là courbe C„, par une construction inverse de celle qui a été donnée plus

(79) haut; la parallèle aux axes, menée par le point P, coupant la droite AB au point p, on joint ce point p au point de Taxe Au coté 1; la droite ainsi menée coupe Bi> au point coté — a, ce qui fait connaître a.

Dans le cas de la solutive C 2 de l'équation du second degré, on peut procéder plus simplement. En effet la formule (c) devient alors.

AA' = — a;

il suffit donc de joindre le point P au point B et de lire la cote du point où cette droite coupe Taxe Au.

En somme, notre procédé se réduit à ceci :

Une courbe C n est tracée sur un plan 5 l'équation proposée détermine une droite dans ce plan*, les points de rencontre de cette droite et de la courbe C n font connaître les racines de l'équation.

Nous terminerons par quelques remarques sur la solutive C 2 de l'équation du deuxième degré. Nous allons faire voir que cette courbe permet d'effectuer les six opérations fondamentales de l'Aritlimé tique.

Disons d'abord que la courbe C 2 est une branche d'hyperbole. Les asymptotes de cette hyperbole sont d'une part Taxe Au, de l'autre la droite dont les coordonnées sont u = 2,p = i. On peut, d'ailleurs, au moyen des formules que nous avons données dans le Chapitre consacré aux courbes du second ordre, déduire tous les éléments de cette hyperbole, de son équation

qui est

Mais ne considérons que la portion de cette hyperbole qui constitue la solutive C 2 .

a « et a 2 étant les racines de l'équation

z 2 -h pz -+- q = o, la droite 11 = /?, v = q coupe la courbe C 2 aux points

' So .

cotés 2, et z 2 . Réciproquement, la droite qui joint les points de C 2 cotés *, et x s conpe l'axe Au au point colép et Taxe B? an point coté q. D'ailleurs on a

de là, le moyen d'effectuer graphiquement Y addition ( f ) et la multiplication.

Si l'on joint le point de Taxe Au coté ( — p) au point de la courbe C 2 coté z,, la droite ainsi menée coupe la courbe C 3 en un second point dont la cote a 2 est égale à p — a, } de là le moyen d'effectuer la soustraction.

Si l'on joint le point de l'axe Bp coté q au point de C 3 coté ai , on a une droite qui coupe C 2 en un second

point dont la cote a, est égale au quotient — ; de là, la

division.

Lorsque les points cotés a, et a 2 viennent à se confondre, la droite qui les joint devient tangente à la courbe C 2 - Dans ce cas p = — aa f et q = aj. Donc, pour élever au carré un nombre a, , il suffit de joindre le point de C 2 coté a, au point de Au coté ( — i^i), la droite ainsi menée coupe B^ en un point dont la cote est égale à a*.

Quant à Y exfraction de la racine carrée,- elle résulte de la résolution même de l'équation du second degré. En effet, extraire la racine carrée du nombre N, c'est résoudre l'équation z 2 = N. Il suffit donc de faire p = o, q == — N, c'est-à-dire de joindre le point A au point de Taxe Bv coté — N 5 la droite ainsi menée coupe la

courbe C 2 en un point dont la cote est égale à ^N.,Delà aussi un autre procédé pour Y élévation au carré; la

(') Inutile de dire que jamais dans la pratique on n'effectuera une addition ou une soustraction par un procédé graphique; nous ne signalons ce moyen d'effectuer ces opérations que pour compléter la théorie de notre Tableau de calcul graphique.

( «« ) droite joignant le point A au point de C 8 coté a coupe l'axe Bf au point coté a 2 ; c'est d'ailleurs une des propriétés qui nous ont servi pour la construction.

La solutive C 3 permet de même d'effectuer les élévations au cube et les extractions de racine cubique.

Nota, — La Planche qui se trouve à la fin du Volume fait connaître la solutive C 3 de l'équation

z*-hpz -+-Ç = o.

C'est une courbe de troisième classe dont l'équation est

Les droites en traits pointillés se rapportent à la résolution de deux équations prises à titre d'exemple. L'une de ces équations a servi au calcul d'un remous dans une rivière (voir annales des Ponts et Chaussées, Cahier de novembre 1884).