HERMITE A STIELTJES

Paris, dimanche (21 octnbi-e 1S88) (')■ Mon cheu ami,

Je vous apporte ma contribution à la question en me proposant d'ajouter un second terme à l'expression asymptotique de Cn i. Voici d'abord une remarque algébrique à laquelle conduit la métbode de t.aplace dont je vais faire usage. Soit

'"fj"

)dj:

rintégrale proposée en supposant que la fonction f{x) s'annule aux deux limites a et 6 et n'ait, dans l'intervalle, qu'un seul maximum correspondant à la valeur a; =3 \. En posant y(^)=/(Ç).e"'', puis a; = ^ H- z, le développement en série suivant les puissances

( '} Nota des éditeurs. — Nous avons cru devoir fixer la date de cette Jetia'e iiu 31 octobre 188S qui correspond au dimanche compris entre le 19 et le

262 conmssi'ONDAKCB u'hëhmitk et de stieltjes.

de 3, et t donne, à cause de/'(^) = o,

ou bien On eu lire

et la remarque algébi-ique consiste en ce que, si l'on remplace / par/", le coefficient de f" se reproduit divisé par \/n^. L'application an cas de

conduit à un calcul prolixe et fatigant auquel j'ai renonce; j'ai préféré employer les coefficients indéterminés en posfint

a; = ^-h«>t-t-to't^-i-id~t'-^..., ce qui donne

ou plutôt

Maintenant, j'obtiens ces valeurs

Ayant ensuite

en négligeant dans l'exponentielle les termes en — i on en conclut la formule chercKée

ou bien

»-ir~""'r __j , ln^^ + 3,.^i + ,6«^i■^^6.S^-^-I5■^

Cette expression se simplifie et une réduction facile donne

C'est ici que je viens implorer toute votre charité, pour savoir i la quantité à la(|uelle j'arrive

siljlenient, pour de grandes valeurs de ^,

se trouve confirmée ou démentie par vos calculs.

M. Jordan a dû vous écrire pour vous témoigner sa satisfaction de pouvoir publier le Mémoire dont vous m'aviez chargé de lui demander l'insertion dans son journal. En attendant votre réponse et vous priant de m'autoriser à publier tous vos nombres, dans ma prochaine Note, je vous renouvelle, mon cher ami, l'assurance de mes meilleurs sentiments,