STIELTJES A HERMITE
Cheii MOJVSiEua, J'avais considéré aussi les termes suivants de l'expression asymptotîque de Cn i , votre résultat et le mien
sont parfaitement en accord, car
(il semble qu'il y a une erreur dans la dernière rédaction de votre lettre).
CORBESPONDANCE D HERMITi: ET 1
i maintenant la comparaison
ii(nn''-i--]iil-i-ir>'f,')
«(a,i=+77iï + .oE
<■,.-,:(<■„-,)■ '"^ 2'ii(n+\f
■m(n-^zy
i,oiG3
i,o3ia
.. i,oi5o
i,oi54
1 ,o3oo 1,0266
.. i,or4'i .. i,oi36
.. t,ol3o
i,oiiG)
On ne peut pas exiger une concordance plus parfaite. J'ai simplement applir^ué la formule (d), page 1 1 a de la Théorie analytique,
ù étanl. la valeur maximum dey pour :s = a.
Or, posant iT ::= « + /i, je trouve
lo"-6— lo" =^— — —^
h'' / ^ A' An*
log?, — loej= AoA3— A,A'4- AjA'— AaA5 + ...,
yGoosle
c = (Ao- A,A-H Aj/iS — AjA^-s-...} K
Il ne reste qu'à calculer les coefficients de A*, h", . . . dans les développements de c', c*, ... respectivement, et à substituer dans la formule de Laplace. Le résultat définitif est de cette forme
e'-i r Pi P; Pa 1
P( , Pï, Pj, . . . étant des polynômes homogènes en a et p, P^ étani du degré 4^'.
Je crois que, avec le second terme - - -^ ^, on obtiendra €„, à
partir de n = iH avec cinq décimales exactes, etc. Je n'ai pas terminé encore le calcul de ce terme avec P^ que je me suis proposé comme moyen de contrôle du calcul exact des c« que je vais entreprendre. Mais cela prendra du temps.
Je vous prie, Monsieur, de vouloir bien considérer qu'en demandant si M. Bourguet ne voudrait pas revoir ses calculs, je croyais encore que cette révision ne portait que sur les Cn, non sur lesB,,. Maintenant queje vois qu'il faudrait aussi revoir les B„, cela deviendrait un travail bien plus considérable, et comme tout porte en somme sur des quantités bien minimes, je n'oserais pas le demander à M. Bourguet dont le travail ne perd rien de sa valeur par ces petites incertitudes, et du reste il n'a, en aucun endroit, donné une limite exacte de l'approximation de ses nombres. Dans ces conditions, ne serait-il pas suffisant, si j'entreprenais moimême cet hiver le calcul de ces coefficients. 3e demanderais alors à M. Bourguet la permission de lui envoyer mes calculs pour les comparer avec les siens. Les petites erreurs aussi bien de mon calcul que du sien seraient alors faciles à découvrir et à corriger.
J'envoie, en ce moment, mon Mémoire à M. Jordan dont j'ai reçu la lettre. Veuillez bien me croire votre sincèremt^nt dévoué.
Vous pourrez faire l'usage que vous voudrez de mes nombres.
liOUliliSI'OMl*!-
- IIERMITE A STIb'LTJES.
Mon cher ami,
Vous avez parfaitement raison, j'ai commis une inadvertance en remplaçant 2«^+ 771^4- lo^^ par (« + ?) (2^ + 5^), c'est un service que vous m'avez rendu de m'avoir fait reconnaître mon erreur, et je viens vous en remercier ainsi que des applications numériques que vous avez bien voulu faire et dont je vais me servir, dans un petit article destiné au Journal de M. Jordan. Vos calculs en feront le principal intérêt, et j'espère, grâce à vous, qu'on ne verra pas sans quelque plaisir comment la formule de Laplace donne, dans la circonstance, une approximation qu'on ne pouvait vi-aiment pas attendre. Conformément à vos intentions, j'ai fait part à M. Bourguet de votre désir de lui communiquer les calculs que vous vous proposez d'entreprendre pour la revision des dernières décimales des coefficients B„, afin qu'il les compare à ses opérations, ce qui donnera le meilleur moyen de remonter à la source des minimes erreurs de ses Tables.
Lundi dernier, M, Bertrand m'a communiqué une lettre de M. Bosscha, qui a eu également la bonté de m'écrire, au sujet de l'envoi du premier volume des Œuvres de Christian Hujgens. Je n'ai point à regretter, mon cher ami, d'avoir eu recours à votre bonne obligeance, et vous aurez rendu service à d'autres encore qu'à moi.
Encore un mot sur l'application à la fonction Q(a;) d'une belle méthode de Laplace. Peut-être avez-vous vu, dans le Tome 90 de Crelle, une lettre de moi à M. Schwarz, où je donne une expression analytique de cette fonction dans laquelle figure la quantité R{^). M. Hjalmar Mellin ('), dans le Tome II des Acta, a obtenu, en suivant la même marche, une expression plus simple, à
- Ueber die tiansceiidante Functioii a inathemalica, t. II, p. 23e).
LKïiiiK 139. 267
savoir :
J'ai remarqué que l'analj'se employée parLaplace, pour retrouver la limite supérieure de l'excentricité qui assure la convergence de la série déduite de l'équation de Kepler 11 = nt-h esinH,
s'applique très facilement à la suite R(a;) et donne un résultat simple; je me propose de vous en écrire aussitôt que j'en aurai fini avec les trente compositions de baccalauréat dont j'ai aujourd'hui la charge.
Votre bien dévoue.
Pensez-vous poursuivre l'ctiulc de la nouvelle transcendante
E'n revenant à c„,, on plutôt à l'intégrale
je ne puis m'empêcher de vous confier tout le chagrin que 1 cause la substitution e~^^ t; elle donne pour transformée
signe somme croît ( . Que devient donc h un cas plus simple
OÙ la quantité sous le signe somme croît de zéro à l'infini, sans maximum ni minimum. Que devient donc la méthode de Laplace? De même encore, dans un cas plus simple
CORnESPONDANCE D HERMITE ET DR STIELTJES.
je ne puis absolument comprendre comment celte méthode se trouve à la merci d'une substitution; en même temps, je me demande s'il est possible, par une substitution, de changer l'intégrale
où la fonction F(a:) est croissante de a à 6, en une autre où la nouvelle fonction aurait im maximum entre les limites?
