STIELTJES A HEEMITE

Cher Monsieoh, Après avoir vu le Mémoire de M. Lipschitz [Crelle, t. 54, 1857}, j'espère. Monsieur, que vous ne me reproeherez pas trop, cette fois, de ne pas suivre votre conseil. Il me semble préférable maintenant de ne pas intervenir dans celle matière. Ce qui me décide surtout, c'est la circonstance que, d'après voire lettre, M. Lipschitz luimême se propose de revenir sur cette matière dans le Journal de CTelle; le veux donc voir d'abord le travail de M. Lipschitz et je doute fort qu'après cela il y ait encore quelque chose à dire sur ce sujet. Vous pouvez donc détruire mon manuscrit et ce n'est que pour vous que j'écris ici ce résultat

tR(»--^il ^^ , ^co.(.rcl..n8 ^ ,.,.--j

LKTTIIE 151. S87

OÙ le premier membre peut s'écrire

Il est quelquefois bien diflloiie à s'assurer si un résultai qu'on a obtenu est nouveau ou non. Par hasard, j'en ai vu l'exemple que voici. Vous savez que M, Schering, de Gôttingue, a publié, dans les Monalsber. de Berlin, 1876, ce théorème

où ( j^ 1 est le symbole de Legendre généralisé par Jacobi et p le nombre des restes minima négatifs pour le module M des quantités

(Voir aussi Acta math., t. I, p. 166).

Dans le même Tome des Monatsber. M. Kronecker a exposé alors ses propres recherches sur ce sujet et je crois me rappeler qu'il dit avoir exposé ce théorème déjà dans un cours fait pendant l'hiver de 1870,

Mais le théorème est dû en vérité à un géomètre anglais, M. Morgan Jenkins, qui l'a donné, le 20 avril 1867, dans une séance de la Société mathématique de Londres. { Voir les Proceedings de cette Société où se trouve sa démonstration). L'énoncé de M. Jenkins est légèrement différent mais cela n'a rien d'essentiel. J'ai mentionné ce fait il j a un an, je crois, dans une lettre à M, Mittag-Leffler. Je crois qu'il en a averti M. Schering.

Veuillez bien agréer, Monsieur, l'expression de mes sentiments dévoués et reconnaissants.

P.~S. — Je ne connais pas le titre du Mémoire de Hankel ; mais, d'après une Note que j'ai trouvée dans les Math. Annalen, t. XXXI, p. 435) il doit se trouver sans doute dans le Tome IX du Zeitschrift.

COBRESPONUANOE D HERJIITE ET BE STIELTJES.

- HERMITE A STIELTJES.

Paris, iS novembre 1888.

Mo!

Je n'en ai pas encore fini avec les examens du baccalauréat, j'ai demain une dernière séance à la Faculté des lettres, et puis à cette besogne va succéder une autre d'une autre nature, il faut m'occu- [»er de la rédaction d'un rapport dont je suis chargé, de sorte que je ne sais quand je pourrai pour mon compte étudier le Mémoire de M. Lipscliitz qui me semble fort beau. Je ne puis assez vous dire quel plaisir m'a fait votre équation que je préfère écrire de

cosf arc taiiï -,'■ — iTt-y ) ^JJ^^2J} — L V ° 6 67

Vous me permettrez pour le cas où vous auriez a l'employer de vous indiquer comment la décomposition de l'intégrale

en termes de fa forme

de sorte qu'on ait

conduit à la notion de la fonction J'observe, à cet effet, qu'en posant ^ = « + n^ + ï, on a

LETTKE 152. 289

et que, pour toutes les valeurs de n, à partir de « =: i, le développement suivant les puissances de (, par la formule du binôme, de {a + nb + l)^~' , donne une série convergente entre les limites (^o, t^^b.ll en serait encore de même pour « ^ o, sous la condition a^b; mais ii est préférable d'exclure l'intégrale Jo, en considérant la difFérence J„ — Jo qui est l'intégrale

jy-'

fi-erf(=:Ji-^J.

comme vous alicï. voir.

Soit

'.-'■ dt.

de sorte qu'en posant

on obtient immédiatement

Changeons maintenant a en a — b, afin de parvenir à l'intégrale proposée J; ce changement reviendra évidemment à prendre à partir de n := o, au lieu de n =1 1 , le terme général de R(x), de sorte qu'en modifiant ainsi la définition de R(x), on a la formule

J = Po R(a^ ) 4- P, '^^ R(a; - i) -4- . . . .

11 n'j a donc pas à s'embarrasser des questions de convergence et tout devient fort simple grâce à vous, à l'idée qui vous appartient d'une décomposition de l'intégrale plus générale que la mienne; mais n'est-ce point singulier qu'on parvienne par une telle voie à l'ex.tension de la fonction si,^') ^^ Kiemann!

ago coRREfiPOMiANCH o hkumit]; et de stiisli-jes.

En vous priant de me donner à l'occasion quelques explications sur votre procédé pour parvenir à la relation qui m'intéresse beaucoup T{n -i- a)^= [n -\-(a — i)8]"r(/i) et vous demandant d'attendre que j'aie plus de liberté pour revenir à l'application aux. séries Bf — — i et ©, (■ — -)• de la méthode de Laplace, je vous renouvelle, mon clier ami, l'assurance de ma Lien sincère affection.