I.ETTRr
Eu posant i 4- ^ i= e" dans la formule
ou peul écrire sous dans formes différentes
Ajanl
on voit, d'après la seconde forme, que -^ — ^~T ^^^ eomprls entre les deux limites
ec qui donne la formule (1).
Mais voici une aiitre conséquence. D'a|irès ce qui précède on a ces deux formules
Développons ou aura en même temps
293 CORRESPONDANCE D HERNITË ï
el, à l'aide de ces séries, on obtient
C), Ca, ... soriL évidemment des polynômes en a.
Lorsque a est un entier négatif « =^ — m, il est clair que la série (5) est finie et ainsi la formule est valable quel que soit n. Et, du reste, la relation
permet de calculer la série indéfinie des polynômes P de m ou de a. Lorsque a est un entier positif a — + m, !a fonmile (5) se féduit à
et ia série est convergente tant que mod/i >■ m — 1 .
Mais pour toute autre valeur de a la série (5) est divergente
qi
e! c|ue soit le module de n. Cela est évident ici, car ia série
n'est convergente que pour mod^-<ï-rc; or, on a multiplié les coefficients c par ces factetirs
a, «(ffl + i), a(a-f-V){a^^.), .... Les anciens analystes, après avoir établi la formule (5) pour
ont quelquefois pris le second membre, dans le cas que m n'est plus entier, comme définition d'une généralisation de la factorielle
sans faire attention à la divergence de la série, ce qui explique les résultats erronés auxquels ils ont été conduits quelquefois. M. Weierstrass a fait voir d'une autre manière que la série (5)
LiîTTRË 153. agS
est toujours divergente (Abhandlungen ans dcr Functionenlehre, p. 24i-344)-
Il fait voir d'abord que si la série était convergente elle devrait représenter nécessairement la fonction -;■ — —— pour toutes les valeurs de n dont le module surpasse une certaine limite. Mais cela est évidemment impossible, car en posant
Il = Re'f (ceci n'est pas le raisonnement de M. Weierstrass),
et faisant croître tp de o à ait, îe premier membre revient à sa valeur primitive, tandis que le second membre est multiplié par e"*"^'". Du reste aussi, en posant n=^ — m, m entier positif suffisamment grand, on rencontre des contradictions.
Mais quoique ces formules (4) 6t (5) soient divergentes, ce sont cependant les séries asjmptotiques des premiers membres, et elles peuvent servir aussi au calcul numérique lorsque n est grand et positif.
J'ai vainement cherché (il j a quelques années) à établir une théorie satisfaisante de ces séries divergentes. Voici encore une remarque à leur égard. Je remplace n par — n dans le premier membre de (5)
, d'après (4)
■l-hl)
sm,(«-a) ,,r(»-oH-r)
On peut donc changer dans la formule (5) n en — « à condition de remplacer ( — /i)" par n" x ■■■ ■ ■, On trouve un
i^ V / f sinit(/i-«)
résultat analogue lorsqu'on change n en — n dans la formule (4). Esiste-t~il une formule plus générale qui embrasse les formules (5) et (5') en même temps? Question qui paraît extrêmement difficile. J'incline à croire que, pour pénétrer un peu dans ces mystères, il faudra revenir d'abord à l'étude de la série de
3g4 CORRESPONDANCE Il'UKRMITK KT DE STIELT.IES.
Stirling.
;r(a)^fa-^)log«-«^log/37t + .I.('ï),
M. LipschitK a considéré le cas a imaginaire, mais partie réelle de a > 0 ; dans ma thèse j'ai trouvé qu'aussi lorsque a est purement imaginaire la formule reste applicable, mais j'ai observé depuis longtemps que même lorsque la partie réelle de a est négative la formule peut donner une grande approximation.
Supposons une coupure do o à — œ, la fonction Logr(fl) est
uniforme alors et j'espère qu'un jour on fera une théorie de la série de Stirling qui montre qu'on peut l'employer dans tout le plan, seulement lorsque a s'approche de la coupure, le terme complémentaire doit changer brusquement. La grande difficulté ici, c'est de trouver une expression de
I r", e-^T.t adt
qui donne la continuation de cette fonction à gauche de l'axe des y. Vous avez remarqué depuis longtemps dans le Journal de Crelle (*) la ligne de discontinuité de ces intégrales, qui est cause que, quoique ces intégrales aient un sens pour partie réelle a < o, on n'obtient pas ainsi la continuation (qu'on sait possible) de la fonction.
Je ne suis pas sans espoir d'obtenir cette continuation à gauche de l'axe des y, mais même après ce premier succès il restera à voir si l'expression obtenue se prête à la discussion de la série de Stirling. Mais voilà la fin des vacances, mes cours vont re ■ mardi et demain j'ai encore les bacheliers es lettres.
( ' ) Note des éditeurs
,,,.TTO 153. agS
Veuillez toujours me croire, mon cher Monsieur, voire affectueusement dévoué.
P. S. — On pourrait faire usage de la formide (4) pour discuter la variation de ■ ■. x variant entre — n ex, — n-\- i^ n entier positif. Soit X =^ — n + a
En première approximation, on aura à discuter
a variant de o à i . Annulant la dérivée, il vient
TT cotTtft = Logn ou — = Logrt.
C'est précisément le résultat auquel vous êtes arrivé dans votre lettre à M. Schwarz. {Crelle, t. 90, p. SSy.) Mais votre méthode me semble plus élégante et rigoureuse .
Il me semble curieux qu'on peut passer de la définition
supposant partie réelle a >• o, à une autre définition valable dans tout le plan ainsi qu'il suit. Soit n un nombre positif qui croît indéfiniment, on a
r((t) = ]im / II"-' e-" dit,
ou bien développant en série
mais (p) donne maintenant la définition de T(a) dans tout le plan. En effet, en adoptant ( ^) comme définition, il vient à l'aide de
CORRESPONDANCE D HRRMITR ET DE STIELIJES.
Cette transformation montre que la définition (p) donne une valeur finie pour T[a), si c'est le cas pour r((T + i), mais tant que partie réelle a > o, il est clair que (a) et (^) sont équivalentes Mais je crois que cette remarque peut être à peine considérée comme nouvelle.
Votre méthode directe pour déterminer le rang du terme maximum
est certainement préférable. 11 est probable que l'on a imaginé la méthode moins directe d'égaler deux termes consécutifs, pour traiter certains cas où la méthode directe s'appliquerait difficilement. Mais ce n'est pas une raison pour faire usage de cette manière détournée dans les casoiila méthode directe s'applique sans difficulté. Surtout dans le cas actuel où le résultat est si simple.
