HERMITE A STIËLTJES

3 4 novembre Mon cher Ami,

Votre dernière lettre si substantielle, si Instructive ir grand service.

Je donnerai dans mes leçons votre calcul qui simple pour établir la relation

que j'aurais bien dû voir même comprendre, comme cas particulier, celle que j'avais envisagée. Et aussi votre procédé élégant pour établir l'égalité V{a -\-\)=^ a r(a) au moyen de l'expression limite pour \ infini de T[a) par la quantité

Maintenant, voici une circonstance dont je dois vous faire part et que vous ne pouviez point soupçonner. M. Bourguet a eu,

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;i-clicr l'extension à tout le plan de

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et in'a donné communication d'un travail étendu dans lequel il

expose sa méthode et ses résultats Son travail me semble

d'une grande importance, et je suis autorisé par lui à vous en donner communication, si vous le désirez. En même temps, j'ai mission de vous informer qu'il désire se le réserver, et qu'il vous prierait dans ce cas de garder la communication pour vous seul. C'est pendant les vacances et en cherchant la solution d'une question que je lui avais indiquée qu'il a fait la découverte. Ma question était d'obtenir l'expression qu'on connaît d'avance, delà différence

et vous verrez avec grand intérêt dans son travail, de quelle manière il la traite et comment ensuite il arrive à l'extension de l'intégrale, de l'autre côté de l'axe des ordonnées. En attendant que vous me fassiez connaître, si je dois vous l'envoyer, je viens, mon cher ami, vous demander pour moi, aide et protection en vous priant de me tirer d'une angoisse analytique extrême. Votre belle formule

conduit bien naturellement à supposer b iutlni, en posant , = d^, ce qui donne

on encore

Rlr~^ j r*- ce,.(.rcuiigj-»i)

ago COnRESPOKBANCE D BERMITE ET DR STIELTJES.

Or, il me semble que pour b infini, on a tandis qu'on reconnaît, sj l'on écrit

que c'est absolument impossible.

Effectivement, pour x-\-i égal à un nombre pair in et pour «^= I, 2, 3, . .., on se trouve en complet désaccord avec la formule de M, Catalan, Journal de Liouville, t. V, p. ii4,

rCi»-i-i) + «ir(^A.-,)'2<

(j'y change n en « + 1). J'avais accueilli l'espoir d'aborder autrement que M. Bourgnet, dont l'analyse est d'ailleurs si remarquable, l'étude des coefficients du développement de ^ — - suivant les puissances croissantes de la variable, j'espère encore avoir fait quelque grosse méprise que vous reconnaîtrez, de sorte que votre formule ne laissera pas échapper la conséquence que j'avais espéré en tirer.

En vous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de ma bien sincère affection.