Partie réelle 3^ > o

et que (ï) doit subsister sous cette condition. Cela me semble bien cerlain si par exemple x est supposé réel. Mais voilà déjà un point que je ne peux pas préciser en ce moment, faute de loisir.

Mais j"ai observé que la formule (1) a un rapport très étroit avec un autre résultat dû à Caucliy. Dans le Bulletin de Darboiix, p. 35, 36, i88i, il j a un résumé d'un article de M. Schloniilcli (t. XXIV, de son Zeitschrift, p. io3-io6; 1879). J'en al pris note. D'abord on emprunte à Cauchy ce résultat

en prenant a — h=zi.M. Schlomilch déduit du résultat le. développement

Or, si l'on prend 6^1 et qu'on suppose /c réel, la formule (11) de Caucby doit donner évidemment la formule {I) et encore cette généralisation obtenue par l'introduction de b n'est pas bien essentielle... il suffirait de remplacer ^ par ^ et a par ab pour déduire de (1)

et c'est là précisément ce qu'on déduit aussi de la formule de Cauchy,

Vous voyez donc que M. Schlomilch a fait déjà, à peu près, l'application au développement de =- — r que vous aviez en vue.

LETIKE lo5. 3oi

mais il est instriiclif de retrouver la formule de Cauehy de cette façon.

Voici maintenant une démonstration de cette formiile de Cauclij qui se présente à moi en ce moment même. Partant de

remplaçons z par az

on bien remplaçant z par iz

le contour d'intégration étant

Soll z ^^ n — bi. b étant réel positif

le contOLir d'intégration étant maintenant un lacet entourant les points bi et + ^i.

Mais si partie réelle x > i l'intégrale est nulle et l'étendant par

302 CORRESPONDANT li u'hERMITK et UK SIIELTJES.

des valeurs infinies de u telles que le coefiicient de i n'es négatif. Dès lors, on peut transformer le contour d'intégrali< manière à obtenir le résultat de Canchy

2 (I) semble vraie, en supposant

seulement je n'ai pas approfondi ce point.

J'avoue que je voudrais bien voir la démonsti'atîon que Caucby lui-même a donnée, il me semble probable qu'il a été bien près d'obtenir la formule

I(cc) -

T-dz,

s'il ne l'a pas obtenue effectivement.

Mais d'abord, je ne sais pas l'endroit où il doit avoir obtenu cette belle formule, et ensuite je n'ai pas à ma disposition ici toutes ses œuvres. Les anciennes éditions sont épuisées et j'attends avec impatience la nouvelle publication de ses œuvres complètes.

J'ai aussi quelques doutes sur l'expression de k„ par M. Schlômilch; l'intégrale a-t-elle un sens?

H y a ici encore quelques points obscurs pour moi et peut-être ne sera-t-il pas inutile de reprendre votre idée et d'étudier l'application de la formule (I) au développement de ^r^ — \-

En vous renouvelant, Monsieur, l'expression de mes sentiments respectueux, je suis toujours votre très dévoué.

/-*. -S. — Je n'ai pas le loisir en ce moment pour rechercher si aussi M, Llpschitz dans son Mémoire n'a pas obtenu cette formule (I)?