HEBMITE A STIELTJES

Paris, I" décembre 1888.

Mon chee Ami,

M. Bourguet m'a chargé de vous communicjiicr le Mémoire qu'il m'a confié sur la théorie de l'intégrale eulérienne; vous le recevrez par envoi recommandé et j'ai l'espérance que vous le trouverez digne de votre intérêt.

Vous aviez effectivement écrit dans votre lettre du 1 fi novemijre que j'ai sous les yeux

ntç^-o „,^,y

V t' ) au lien de

toutes les difficultés disparaissent maintenant, mais la conséquence que je tire de la formule exacte en supposant b inlini

ne fait que reproduire la formule de Cauchj que vou^^ m'avez indiquée, en j faisant b=:\, k =: x

On a, eu effet,

! quiper,

ioe(i + i.-)- -Logd^j')^

et, par conséquent,

/■ + " giai^e

eL vous vojez que, dans le second membrej la seconde intégrale esL nulle.

La première forme est même préférable, par exemple, pou en conclure immédiatement, au moyen d'une intégration par parties, l'équation

M. Lerch m'a fait part d'une méthode simple et élégante, pour exprimer Q(«) au moyen de la série généralisée de Riemann

que je vais vous indiquer, pensant qu'elle vous plaira comme à moi. M. Lercti prend comme point de départ cette relation

et la transforme ainsi

r(a) Q(> ^a)=.J' Ç^^ ^"T-^7' ^"" '^^' OÙ II désigne une constante arbitraire. Puis il écrit

en posant

*(»)-j' l-'e'ilt.

or, on iroiive facilement que

^y,^ ,.«-I)Jl(-<.-^,. + ,)

la relation précédente devient do:

Ce résultat diffère un peu de celui que j'ai ohtenii, en partant de la décomposition que j'ai employée

en transformant les intégrales par la substitution x ^ to -\- nu + l, mais OQ le trouvera si l'on pose ^ ^ (o -H (n -(- i)f( — /, ( vous le verrez immédiatement.

Mes sentiments affectueux et Lien dévoués.