STIELTJES A UERMITE

Toulouse, 3 décembre i888.

Cher MoMsiEuii,

En lisant le travail si intéressant de M. Bourguet, il m'a f que le point principal de son analyse revient à ceci

30D CORRESPOKDANrR D HËRMETK ET DE STrULTJES,

Or, par la considération de l'inLégrale / — dz ]e trouve qu'on a

du = I -r- du

}' e~ku /■* si„„ (« réel toujours);

f du = ( -i— — du

on doit supposer ici partie réelle /:]> o, mais les seconds membres donnent la continuation dans tout le plan, excepté la coupure de o à — 00. On a donc

En écrivant pour un moment

2Tra= b,

en désignant par ^{x) la dérivée de Log r(a') et par

la constante eulérienne.

Il semble que par une inadvertance il s'est glissé quelque erreur dans la formule en haut de la page i3 du manuscrit de M. Bourgiiet.

En effet, on devrait avoir

yGoosle

LEiriiE 157. 3o7

s éLant inférieur à 0,01 eL o<.'a<^i. Mais cela est inexact, en ajoutanl log«, on aurait

logr(; + «) = log^j^^+s.

Cela n'est pas vrai, comme on lo voit en posant (7 := o ou a ^ ~

logf ^/ttJ = log/^iij-i-e.

Mais ce ne sont là c|ue quelques remarques qui se sont présentées d'elles-mêmes en parcourant le manuscrit et qui certainement n'auraient pas échappé à l'auteur s'il revient sur son sujet.

En vous écrivant la dei'uière fois, je n'avais pas eu le loisir d'examiner à tête reposée quelques difficultés que j'ai signalées moi-même dans ma lettre. Mais comme je vous avais par ma faute causé l'embarras d'une formule manifestement fausse, je croyais de mon devoir de vous en indiquer la cause le plus tôt possible. J'espère dans quelques jours pouvoir vous écrire sur les points obscurs de ma dernière lettre.

Je vous renvoie ci-joint le manuscrit de M. Bourguet et, dans ta supposition que vous lui donnerez communication de cette lettre, je lui exprime aussi tous mes remerciements.

En posant

une intégration par parties donnerait en partant de (a)

mais la formule ([3) suppose que

s'annule pour x^o et pour x-=^-\~<xi. Pour x=o cela a lieu quel que soit a, mais j e ne sais pas en ce moment si pour x ^as

3o8 conRESPONDANiiE d'ieeiimiie et de stieltjes.

cela est encore vrai, quel que soit a: naturellement ï)(cc)^=o,

mais '!' ( 1 + - ■ ) devient infini.

La manière dont f (^) s'approche de zéro pour x^oo résuUe de la formule

/ 1 du <. I lie--'" du = —,

1 — — ^ du < f e-^" rf« = - .

Lorsqtie a réel >■ o, "fl ^ H ) devient inlini comme logj:;

ainsi, dans ce cas, il n'y a pas de doule. Mais vous voyez cpi'il reste encore là bien des recherches à faire.

Veuillez bien agréer, cher Monsieur, l'expression de mes scnliments respectueux et très dévoués.

P. S. — Laformule (fl) étant exacte pour a réel et positif, il resterait à voir seulement si l'intégrale conserve un sens pour d'autres valeurs de a. Ce sera là peut-être plus facile qu'à étudier ^ f 1 l j pour X ^= 00.

ce qui est exact.