HERMITE A STIELTJES (i

Mow CHER Ami, L'élégance et la simplicité de voire analyse cachent certainement un grand travail et il est difficile d'imaginer par quel enchaînement d'idées vous avez ét€ amené à la considération de la quantité m el à la suite des fonctions que vous nommez y, (ic),/2(x), .,,, Vos résultats sont excellents et, à l'encontre de tant d'autres qui avec un grand appareil de formules n'obtiennent presque rien, vous lirez de considérations extrêmement simples et faciles des choses entièrement neuves et du plus grand intérêt. En attendant qUe j'aie quelques remarques à tirer de mes réflexions sur ce que vous m'avez communiqué, permettez-moi de vous demander où vous comptez publier ce que vous venez d'obtenir. M, Darboux serait très content d'en enrichir les yi/i/ia/fiA- rfe l'Ecole Normale, et M. Camille Jordan vous bénirait de lui fournir de la matière pour son journal qui en a manqué dans ces derniers temps. Je devais lui fournir un article sur la valeur asjmptotique de Q(a), mais mille occupations m'ont détourné de ie rédiger, et ensuite je me suis trouvé dans une disposition peu favorable pour le travail, ayant éprouvé comme une sorte d'aversion pour l'Analyse ■qui me rendait tout effort comme impossible. Après m'étre plongé dans la lecture, j'en reviens peu à peu, el nombre de recherches que j'avais commencées surgissent de leur sommeil et me redonnent quelque peu courage. Je relis votre correspondance et, au moment ou j'ai reçu votre dernière lettre, j'allais vous écrire et vous chercher querelle au sujet de la condition que vous m'avez formulée pour qu'une fonction /{x, y) soit uniforme dans un domaine D, et qui consiste en ce qu'on a

l'intégrale étant prise sur une courbe fermée quelconque tracée dans ce domaine. Je vous avoue ne jamais m'être posé la question

333 CORRESPONDANCE U'UliRMIlK ET DE STIELTJES.

en restant comme vous dans le champ des valeurs réelles des variables, la circonstance des déterminations multiples me paraissant résulter en toute nécessité des valeurs imaginaires des variables décrivant des contours fermés. Je vous demande donc, pour préciser et bien fixer mes idées, un exemple dans lequel ~ et -r- soient uniformes dans le domaine D pour les valeurs réelles,

c'est-à-dire, suivant moi, continues et à détermination unique, la fonction/(^,^) ayant, au contraire, des déterminations multiples. Je demande, en plus, de voir de quelle manière ces déterminations diverses résulteront de ce que votre condition / d/{x, y) = o ne sera pas remplie. En allant plus loin et m'accusant d'avance d'avoir la vue ti-op courte, je réclame à cor el à cri une fonction échappant à votre condition et dans laquelle ~- et ^ soient toiijours continues et finies à l'intérieur de D. Ma requête a pour origine et pour cause ma tendance à faire résulter les notions analytiques de l'observation des faits de l'analyse, croyant que l'observation est la source féconde de l'invention dans le monde des réalités subjectives, tout comme dans le domaine des réalités sensibles. Je m'arrête, mon cher ami, je vous ferais bondir si j'osais vous avouer que je n'admets aucune solution de continuité, aucune coupure, entre les Mathématiques et la Physique, et que les nombres entiers me semblent exister en dehors de nous et en s'imposant avec la même nécessité, la. même fatalité que le sodium, le potassium, etc.

Avec tous mes vœux pour la guérison complète de votre mal d'oreilles, et en vous renouvelant l'assurance de ma sincère et bien cordiale affection.