STIELTJES A HEUMITE

Toulouse, le t4 février 1883, Cher Monsieur,

Le théorème sur les fonctions de deux variables réelles, d'où M. Kronecker déduit comme corollaire le théorème de Caucliy, s'énonce ainsi :

Soit f{x, y) une fonction rccllc des variables x, y telle que

LETTRK 1()7. 333

dans un domaine D à contour simple (j"ai pent-ètre omis cetLe condition qui esL nécessaire) les dérivées partielles

àf 4/

ô^' dy

^Qieni finies et uniformes et admcUenl encore des dérivées finies (qui sont alors uniformes aussi naturellement), alors la fonc-

■SIOS f{x,y) ELLE-MÊME EST AUSSI .VÉCESS A1REME VT UNIFOIIMB.

En eS'et, iL s'agit de démontrer

pour un coulour fermé C à l'intérieur de D. Mais C forme la limite entière d'une certaine aire qui fait partie de D, et pour cette aire-là

fji

à une valeur finie, qu'on peut évaluer de deux manières en intégrant d'abord par rapport à a; ou à j'j on trouve, ainsi

et ces résultats étant égaux,

D'après ce théorème mfime il rt existe pas une fonction/(^, y) non uniforme dans D et dont les dérivées partielles seraient unifocmes.

Mais considérons un domaine D qiii n'est pas à contour simple. Si je considère un point P{jr, y) dont les coordonnées polaires sont /■ et 6, on ne peut se refuser à admettre comme fonctions de X, y les expressions

f{^,y] = ^, La première est finie dans D..., mais elle n'est pas uniforme,

334 GORRESPOMIAKCE D'aEDIOlTE ET DE STIELTJES.

si P décrit le contour fermé PQRP, f{x,y) augmente de 2 Cependant, comme les diverses déterminations de /{x, y) 3

diflerent que par des constantes, vous vojez que les dérivées partielles -j-. j- sont uniformes dans D.

La fonction 0... est une fonction non uniforme d'une autre nature, ... elle admet deux valeurs qui se distinguent par le signe seulement, etc.

Du reste, si les analystes n'ont peut-être pas fait beaucoup attention à ces fonctions réelles de deux variables non uniformes, mais dont les dérivées partielles peuvent être uniformes (cependant cela seulement dans un domaine D qui n'est ^(W à contour simple), les physiciens {M, Helmholtz) en étudiant le mouvement des liquides ont été amenés aussi à reconnaître l'existence de ces fonctions dans le cas de trois variables x,y, s ( ' ).

Voici la généralisation du théorème de M. Kronecker pour le cas de l'espace.

Si un'e fonction /(x, y^ a) admet des dérivées

èi of àf

qui sont uniformes dans un domaine D et admettent encore des dérivées finies (du second ordre de /), alors la fonction / ellemême est nécessairement uniforme dans D.

LliTCRE 167,

Pour préciser :

On dit que/esl utiiforiiie dans D lorsque

l'intégrale élaat prise sur une courbe fermée à l'intérieur de D.

Mais ce théorème n'est vrai que si l'on suppose que le domaine D est de telle nature que chaque courbe fermée tracée dans D peut, par un changement continu et sans sortir du domaine D, se réduire à un cercle infiniment petit. Cela a lieu, par exemple, si D est l'intérieur d'une sphère ou encore l'espace compris entre deux sphères concentriques.

Mais cela n'a plus lieu si D est l'espace à l'intérieur d'un tore. Dans un tel cas, M. Helmhollz a remarqué l'existence de fonctions non uniformes, mais dont les déterminations ne différent que par des constantes, en sorte que les dérivées partielles sont uniformes, tout à fait comme la fonction y(j:, ^) ^^ & de tout à l'heure.

Du reste, le même exemple peut servir ; eiv posant

Q étant la longitude du point {iG,y, s), c'est-à-dire l'angle du plan passant par l'axe du tore et du point (w,jr,z) avec une de ses positions particulières.

I! est à remarquer que si l'on prenait la même fonction

dans le cas de l'espace compris entre deux sphères, cette fonction ne satisfait plus aux conditions, car l'axe qui sert à déterminer les longitudes passe alors en partie par le domaine D et en ces points S devient indéterminé y, ce qui n'arrive pas pour le tore. Et, en effet, comme je l'ai dit pour l'espace compris entre deux sphères concentriques, le théorème a lieu etruniformité de j-' -f' ■f' entraîne l'uniformité dey.

Y et les dérivées partielles cessent d'être finies et continues.

J'ai pu perfectionner beaucoup ma méthode d'approximation de

336 coRRËsruNDANCE n'iiEiiaiTE wr i>e stielijiîs.

l'intégrale

En effet, ma premicro méthode conduit à ime expression approchée avec le terme complémentaire

Je remarque f|ae cette expression peut se mettre sous la forme

(1) R. -y ^^ (I + ^, Y -i- 3.,ç2 +. . .+ a7„.p")2 dx.

Dans ma nouvelle méthode, je considère direelcment celte expression qui est one forme quadratique de X{, x.2, ..., jc,,. Je détermine x,, ..., x„ parla condition que R„ soit minimum. En posant