HERMlTIi A STIELTJES
l'Hvis, iG février 188(1.
Mon cheu Ami,
Votre nouveau point de vue pour obtenir l'approximation de
l'intégrale / ■^V-( 'i^ constitue un très heureux et très grand
progrès, votre analyse devient ainsi plus lumineuse et je ne puis assez vous dire avec quel plaisir j'ai vu l'application que vous faites au cas de ^(ic)^=s — x, en établissant d'emblée que
,7[l„=: '^" ■-., fnix) étant le dénominateur de la n"*"" réduite du
<Pn(3) ^ ^ ' développement de l'intégrale en fraction conliniie. Personne, certainement, n'a obtenu ce résultat extrêmement remarquable, que le terme complémentaire de cette réduite est le minimum de l'expression
je ne sache pas non plus qu'on ait démontré que la limite soit nulle pour n iniîni. Quand vous aurez rédigé le Mémoire que vous
LETTRE 168. 34r
prépare/, sur celle c[iii;slioii, ne pense/.-voiis pas en rlétacher celle conclusion dans une Note pour les Comptes rendus?
Grâce à vous, les ténèbres de mon esprit commencent à se dissiper au sujet des fonctions de deux variables et de la façon dont il faut les définir en tant qu'uniformes, lorsqu'on envisage seulement les valeurs réelles. Les exemples que vous me donnez en considérant l'angle polaire 6, et la quantité rcos-j comme dépendant de x et y sont extrêmement lumineux, et vous me faites voir aussi très clairement comment la question se complique lorsqu'on considère certains domaines à l'égard des fonctions de trois variables.
En vous priant de me rectifier si je fais erreur, je vous demanderai encore si l'on peut dire que la condition nécessaire et suffisante poHrque'y(a:,}') soit uniforme, dans un domaine D à contour simple, c'est que la fonction reprenne la même valeur lorsque les variables étant supposées représenter les coordonnées d'un point de D, ce point revient à sa position initiale après avoir décrit un contour fermé quelconque contenu à l'inténeur deD. Puis, peut-on en conclure que celle condition, remplie à l'égard de f{x, y), est remplie nécessairement pour toutes les dérivées partielles? Ou bien doit-on prendre pour définition d'une fonction uniforme l'équation / df[x, y)^:^o pour un contour fermé C à l'intérieur de D, en admettant que la fonction soit continue et finie à l'intérieur de D?
C'est ce que vous faites à l'égard des fonctions de trois variables, mais je resterai dans le cas de deux variables seidement, et alors il me semble bien qu'une fonction doit être considérée comme uniforme alors même qu'on admettrait, à l'intérieur de D, des lignes pour tous les points desquelles /{x, y) serait infinie, et des points isolés qui lui feraient prendre une valeur indéterminée - La circonstance qu'il existe de telles lignes et de tels points n'empêche aucunement que la fonction reprenne la même valeur lorsque les variables décrivent des contours fermés qui les rencontrent ou les comprennent, mais il faut absolument renoncer à l'équation / df(x, y) = O dans ce cas.
342 COBRHSPONBANCE S'HERMITK ET DE STIKITJKS.
J'espère que \ons comprenez bien que j'incline à trouver préférable une définition qui s'apjîlique au quotient de deux fonctions entières; en tout cas, je serais heureux de recevoir vos avis sur un sujet de si grande importance et auquel je n'ai, pour ainsi dire, jamais songé jusqu'ici.
En vous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de mes meilleurs sentiments.
169, - STŒLTJES A HERMITE.
€he:
Il me semble qu'il existe peut-être un léger malentendu entre nous concernant la définition de l'uniformité d'une fonction réelle de deux variables.
Dans les conditions où l'on se place de l'existence (en général) des dérivées partielles, la valeur de
Jdf{x,y),
étendue le long d'une courbe AB, ne peut être que et par là il est clair de dire que
sur un contour fermé C, ou bien dire que f{x,y) revient à sa valeur initiale si l'on parcourt la courbe C est exactement la même chose, et cela indépendamment des singularités qui peuvent exister ou non à l'intérieur du contour.
Et il semble aussi clair que si f{x, y) est uniforme dan» un certain domaine, cela entraîne nécessairement l'uniformité des dérivées partielles. Mais, si l'on voulait insister sur une explication là-dessus, je crois que l'on pourrait raisonner ainsi qu'il suit : Je considère f{œ, y) et '^ f"' "^ -
Faisons parcourir au point (a;, y) la courbe ABCDA dont la partie DAB est reciiligne et parallèle à l'axe des X. On part de A avec des valeurs finies de
au point A (a-o, Jt'o)
et de
Or la valeur de Q est
^f{^,^h.r.)-.fi^^„n)
h. propreinenl parler, 11 faudrait prendre h positif, i
;, d'après
oT
l'existence même d'une dérivée partielle, on doit obtenir la même valeur de Q, même en prenant /( négatif.
Or, si l'on a parcouru le contour ABCDA, on revient encore en A avec la même valeur P d'après l'hypothèse de l'uniformité. Si donc on applique maintenant de nouveau la définition de la dérivée partielle pour savoir ce qu'est devenue cette dérivée, on obtient encore
identique avec la définition de Q. Sommairement, comme dans l'hypothèse de l'uniformité, /Ix, y) n'a qu'une seule branche, il en est de même de toutes ses dérivées partielles, par le fait même qu'une fonction bien déterminée n'admet pas plusieurs dérivées, ou autrement : la définition des dérivées ne laisse pas place à une ambiguïté .
Ainsi, il peut très bien arriver qu'une fonction soit uniforme et admette cependant des singularités. C'est ce qui arrive, par
il\[\ COBRESPOKDANCR DBEKHITË RT DE STIEI.TJIiS.
exemple, à l'origine (^ = o, ^ ^^ o) pour les dérivées parlielles de cette fonction
/[^,r) = e, |,ar exemple -.^yi'
Ces dérivées sont uniformes, mais discontinues à roriginc. . .. Ces exemples montrent que le théorème de M. Kronecker n'est pas une banalité.
Je vous avouerai que je n'ai d'abord rien compris au premier passage où M. Kronecker énonce son théorème. En effet, l'essence du théorème est d'affirmer l'uniformité de la fonction comme conséquence de l'uniformité de ses dérivées partielles (sous certaines conditions restrictives). Or, par inadvertance, M. Kronecker a d'abord énoncé son théorème en comprenant, parmi les conditions à imposer à /{x^y) l'uniformité de cette fonction!! Et comme il est très succinct, je me suis inutilement efforcé à pénétrer dans le vrai sens de ces quelques lignes. C'est seulement après la lecture de sa seconde Note [Bei-Uner Monatsb., i885, p, 785) que j'ai compris son idée. Il y redresse aussi l'inadvertance qui s'était glissée dans son premier énoncé de 1880.
Il n'en reste pas moins vrai qu'on doit appliquer avec beaucoup de circonspection certains tliéorèmes généraux sur les fonctions de deux variables. J'en ai rencontré cet exemple. Soit
Vous verrez directement que sur le cercle de rajon t autour de l'origine /(z) est purement imaginaire :
Si donc je considère la partie réelle de/(3)
j'ai là une fourtion qui satisfait à
^ "^ dy' ~ ° et qui s'annule sur le cercle 0. Or, d'après un tlicorèmc général,
une telle foncdon tp ne peut s'annuler sur uii cercle (ou contour fermé quelconque) sans s'annuler aussi à l'intérieur du contour. Le théorème semble ici en défaut, mais la raison est celle-ci : la fonction <p(a7, y) présente, au point x =^ ~ i, y^^o sur le cercle une indétermination et l'on ue peut pas dire, à proprement parler, qu'elle s'y annule. On peut s'approcher de ce point de telle façon que (f tende vers une limite quelconque. Mais vous voyez qu'il suffit de bien peu de chose pour mettre le théorème hors d'usage. Il en est de même pour le théorème de Gauss, que si sur une surface fermée dans l'espace on a
<jj(3v,7,3) = C0n5t.,
la fonction c; satisfaisant à l'équation de Laplace
de.
cette surfa.
(p = const.
Une simple indétermination sur la surface suffit pour détruire le théorème.
Permettez-moi de vous demander, en terminant, un renseignement. Dans le Journal de Crelle, t. 40, p. 3,96, vous vous exprimez ainsi :
« Ce qui précède indique suffisammenL une infinité d'auti-es conséquences analogues, qui toutes viennent dépendre de la recherche difficile, d'une limite précise du minimum d'une forme définie quelconque. Là-dessus je ne puis former qu'une conjecture. Mes premières recherches, dans le cas d'une forme à n variables
de déterminant D, m'avaient donné la limite (^ j \/^', je suis porté à présumer, mais sans pouvoir le démontrer, que le coeffi-
cient numérique (
Je demande : a-l-on été plus loin depuis et votre lin sumée -- — ^^1 l'a-t-on déjà établie rigoureusement?
Dernièrementj j'avais à considérer une question où il m'importait d'avoir la limite exacte, aussi petite que possible. J'ai cherché un peu partout, mais je n'ai pas trouvé. Vous pourrez certainement me dire ce qui en est.
Veuillez bien accepter, cher Monsieur, la nouvelle assurance de mon entier dévouement.
P. S. — Je vous enverrai sous peu, d'après votre permission, une Note pour les Comptes rendus sur la fractio]! continue
pour I ■■ ^--flcc.
170, — IIEfiMITE A STIELTJES.
■ MoM cHK[i A.nri, Je n'ai pas chez moi la collection des Matheinatische Annalen, ce qui m'empêche de répondre avec une entière précision à votre demande, je dois me borner à vous renvoyer aux Tables de matières où vous ti-ouverez l'indication d'articles de M. Korkine et de M. ZolotarefF Sur la recherche d'une limite précise du minimum d'une forme quadratique définie. On a établi, je crois me le rappeler, que ma limite présumée , est inexacte, et l'on a
démontré (MM. Korliine et ZolotarefF) que, pour une forme réduite à quatre indéterminées, le produit A A) A^Aj des coefficients des carrés satisfait à la condition A A) A^ A3 ^4D- A cette occasion, j'ai été en correspondance avec les auteurs, et je leur ai communiqué une nouvelle méthode pour établir, à l'égard des formes ternaires, la condition A A, A^^ 2D, mais leurs principes me semblent plus féconds et d'une plus grande portée que le mien.
Je vais réfléchir sur les choses excellentes de votre lettre concernant l'uniformité des fonctions de deux variables; le cas d'exception offert par fix, y) ^= , -^ — ^ mérite extrêmement d'être
signalé; j'en parlerai à Picard, à moins que vous ne désiriez vous réserver la remarque que vous avez faite.
En vous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de mon afTeclion bien dévouée.
Moi
- HERMITE A STIELTJEfi.
Paris, 3 mars iSfig.
En revenant d'un bien triste voj'age en Lorraine, où j'ai été appelé par la mort d'un de mes parents, j'ai trouvé, dans le dnrnier cahier du Journal de M. Jordan, votre beau travail sur le développement de
que je lis avec le plus grand intérêt. Pour que vous n'en doutiez point, permettez-moi de vous dire comment j'abrégerais un peu la recherche de la formule {16), au moyen de l'identité élémentaire
On a d'abord lu encore, en changeant /■ en n — ar, mis sembîablement
Soit, pour lin moment, a .^=^ n — 2 /•, h ^ n — 2,^, il viendra en multipliant
Cela étant, je change y en — y, et j'ajoute membre à membre en divisant par 2. On trouve facilement
a-HÈ a-b a--b a + b
3^8 CORRESPONDANCK Il'lIiîRMlTK E
On a cnsiiito
de sorte qu'il vient, pour le développomeii
cherché,
ï«(cos« + co!/ )»=!;»(»),(»),[ co,(»-
,--^)^cc
+ co.(»-
OÙ les entiers /■ et s parf^ourent la série o, i
, 3, ... jl
sqii'à l'entier
conleuii dans -■
Je ne puis assez vous dire coinhieii j'ai v
Il avec pla
isir l'esU-ême
éJégance et la simplicité de votre analys
e, dans i
ne recherche
lénaent à un résultat impoi
ières semaines, M'"* Herinite donné quelque inquiétude, e, et je pense pouvoir me
difficile et profonde, qui conduit si s tant et très caché.
J'ai peu travaillé pendant ces derr ayant été malade d'une bronchite qu; mais dont elle est maintenant guérie remettre à l'œuvre.
En vous priant de m'auloriser à annoncer à M. Jordan les recherches que vous m'avez communiquées sur les fractions continues, auxquelles j'attache un grand prix, je vous renouvelle, mon cher ami, l'assurance de mes sentiments affectueux et hien dévoiLés.
STIELTJES A HERMITE.
Ciiiiii MoNsietjn,
Je vous remercie vivement pour votre honae lettre; veiiilieï: hien être assuré de la part que je prends au deuil qui vient de vous frapper. Je vous prie aussi cle vouloir tien me rappeler au souvenir de Madame Hermite. Votre méthode d'étahlir le développement de 2" (cos^ -H cosy)" est certainement ce qu'il y a de plus simple. Je me rappelle que M. Tisserand, dans un de ses
Mémoires, se sert aussi de k décomposition
mais sa méthode est beaucoup moins simple parce qu'il n'a pas eu l'idée heureuse de changer y en — y et de prendre la demîsomme. Mais cette transformation
est jolie et un peu cachée.
Je pense toujours aux fractions continues. Soit/(/;) une fonction qui ne devient pas négative et telle que
ait une valeur finie. Alors pour ;r > o
On a
et ce rapport -^^ croît au delà de toute limite. La série (i) est donc divergente, si l'on voulait la continuer indéfiniment; cependant. . . elle permet de calculer l'intcgrale
vec une certaine approximation qui dépend de la valeur de x. Mais je transforme la série
OilRBS l'OMlANliE D ItBRJEITE 1^
alors tous les «j, 6,- sont positifs.
Les réduites d'ordre impair diminuent, une telle réduite est toujours supérieure à I.
Les réduites d'ordre pair vonl eu croissant, une telle réduile est toujours inférieure à L
Donc les réduites d'ordre impair tendent yers une limite A, les réduites' d'ordre pair vers une limite B et
La fracllou continue est convergente seulement lorsque
(incme si elle n'est pas convergente elle permet de calculer I avec une certaine approximation comme lu série divergente). Soit R„ le minimum de
alors
Rl< R2<R;,<..,.
donc
limR„=X, /! = «,
el )i est positif ou nu).
« Pour que la fraction continue (2) soit convergente il fai il suffit qu'on ait
Dans le cas
on peut calculer facilement
R„= îi^ Lîil^iî ,
*• (aH-i)(« + »)...(o + n)'
LliTTIlE 172.
donc, dans ce cas
>. = o et fractinri conlînue convergente, ainsi pour 6= ]
pour a= I c'est le résultat de Laguerre dans le Bulletin de la Société Mathématique de France. Mais Lagiicrre a considéré seulement les réduites d'ordre pair qui donnent des limites inféi-ieures.
A étant égal à o dans le cas/(w)= «""'e"*", il est clair qu'on aura encore "k^ o dans le cas
pourvu que ç(«) reste inférieure à un nombre fixe, et la fraction continue est encore convergente.
Mais la question difficile qui m'occupe encore est eelle-ci : n'at-on pas toujours X ^^ o?
J'incline à le croire en ce moment et je chercherai à établir ce point. Voici encore un résultat
logr(^]^(3;~i^log3^-3^-H^log-2Tr + J(^),
On peut développer J(a;) en fraction contin
«3= ô3 :2io, X-h ■ —
Oj = -22 999 : 32 737,
, les ai tous positifs
i^l COHliESl'ONDANCE D
et celte fraction ■ de Stirling. Pour
remplace avec ,J(i) = o, 08106
TE ET ]»r STinLTJiiS.
d avantage Ja
o83 3^3 — < o8cK)45-^( oRr 173 — 1 08] oif>-,-i
Si Line fraction continue telle que (a) où tous les a;, bi sont positifs est convergente pour x-^p l> o, alors elle est toujours convergente tant que 3; > o. Mais je dois réflécliir encore beaucoup sur la question difficile que j'ai indiquée tout à l'heure.
Votre tout dévoué.
. STIELTJRS A HERMITE.
Cher Monsieu
En développant la sérit
vergente
en fraction continue con
ve
gente
a, = 1 : ij,
as=i:3o,
' + dr-
la loi des coefficients «), «i, , . . semble extrêmement compliquée. Mais j'ai fait la remarque que la théorie de la fonction F fournil aussi des exemples de développements en fraction continue de ce genre, où la loi des coefficients est extrêmement simple. Soit
^(«) = |^[iûgr(^)j,
yGoosle
LETTIIR 17^. 353
. et considérons les expressions
A =. 4. (^—'^ - é (~P-)- log3.
Lns développements divergents sont
Ces coefficieni.s
dans le développement de X, sont ceux que l'on rencontre; dans Li série
secs: = 1 -h -^3;^ -H — 2^1 + ^^ 37= -i- -3-j- a^» -!-... ,
el les coefficients
I, -i, ilj, V.73, 7<j3G, ...
sont ceux de la série
tanga;
En développant en fraction continue, on obtient les expressions extrêmement simples (et convergentes)
354 CORRESPONDANCE u'hEUMITE ET DE STIELTIËS.
11 me semble fort probable c[ue dans le développement en fiaclion continue de J(^) on a aussi, comme dans les fracLÎons continues que je viens de décrire,
^■(ri/)
On peut directement constater la eonvergcnce des fractions continues X et ife à l'aide de ce théorème (dû à Steria et à Seidel). Une fraction continue
où les a sont > o, est convergente lorsque la série 'CSt divergente. Soit, en effet, P„ : Q,j la n'''"" réduite, on r
Or,
it facilemenl que
( Qi,^i>a, + «, + ...+ :
car Qan-i se compose des termes a,, Sj, ..., ^■i„, et d'autres encore. De même, pour Qjn- Or, la fraction continue est
jnais si la série est dhergente, il est clair d'après (a) que l'une au moins des quan-
Lilés Qîji-i QiiH, --■ cruîl inâéfiniment cl. l'aulre croit ausei. Donc la convergence est luanifesle. Au contraire, sî Ja série
était convergente, le produit (i -I- a|)(i + •J.-i'){} +aj';. .. le serait aussi et, à cause de
Q„<(i-ha,)(i + »î)---(' + "").
on aurait
llmQs„, = A, limQ2„ = B,
A et B étant des nombres finis. Il est clair alors que les limites de
diffèrent entre elles (eux), la différence est ^ ■
A l'aide de ce théorème on reconnaît sans peine la convergence des fractions continues {^X) et i^').
Veuillez bien agréer, cher Monsieur, la nouvelle assurance de mon entier dévouemenl.
P . S. — On peut écrire aussi
la /i'™"; réduite de la fracti
CORIIESPONDANCE D IllinSlITE ET IIL STIELTJES.
