UERMITE A STIELTJES

Pafis, i/| mars [S8(>.

Mon cHEii. Ami,

J'avais fait grise mine au développement de

en fraction continue, à cause des nombres énormes qui figurent dans «I, «2, «3, -.., mais vos nouveaux résultais m'encliantent. Il me semble que l'on a

A= / sécixe-''-'dx et il\> = - / ^—e-"-'ds:\

ne doit-on pas supposer a^i dans les fractions continues, pour qu'elles convergent?

Où et quand publierez-vous l'analyse qui vous a donné ces formules si intéressantes et si nouvelles?

On m'a demandé un article pour les Mémoires de Bologne et j'ai eu l'idée de le composer avec des applications de là méthode

de Laplace, à la fonction I^(^) = — -H —- j^ij h---; tiux

coefficients du développement suivant les puissances de x, de sna;, de ^\(x) et H, (a;), en dernier lieu à l'expression que Laplace a traitée lui-même

pour avoir l'occasion d'abréger et de simplifier un peu sa merveilleuse analyse. A l'égard de R(a;), je donne votre formule

comme vérification, en disant qu'elle a été obtenue sous une forme peu différente par M. Lipscliitz et M, Lerch; mais j'aimerais bien

que vous nie disieK s'il ne serait poînl juste de vous citer, eh disant que vous me l'avez communiquée.

Je vérifie aussi l'expression asymptotique du coefficient de x^""^' , dans le développement de sna:, qui esl. k'^k'v«+i' P*'^ '^^^^^ ^'^" marque bien facile.

Les pôles de snx étant /; ^ anK + (a/> + i)iK', le théorème de M. Miltag-Leffler donne

<}h il esl aisé de voir que 0"(a:) = o. Effectivement les dérivées secondes de deux membres sont des fonctions doublement périodiques, donc (^{x) esl une constante, et cette constante est nécessairement zéro, ces dérivées étant des fonctions impaires.

Cette relation donne, pour le coefficient de ^c'"'*'', l'expression 2^ inl, ' ^^ somme se rapportant à tous les entiers a et b. Or, il j a deux pôles p = ('K' et /; ^ — iK.' dont les modules sont égaux et moindres que ceux des autres pôles, de sorte que, pour n très grand, on a sensiblement, puisque ti:= i , -^î^;^! pour la valeur de la somme A.

Mais tout mojen de vérification m'échappe pour H) (a-) el%,{x); voici le calcul pour la première de ces fonctions.

La série

H,(,)=2»!/r'co,^ (,. = ,,3,5,,.,), donne pour le coefficient de — '■ — > l'expression

où les termes vont en croissant jusqu'à un maximum, pour décroître ensuite indéfiniment. Je pose

338 CORRESPO^'DA^CE s'heumite et de stielt:

pils l].lo./(n)*^-'i^' et D<log/(n).

la valeur de n qui donne le maxiinum est donc

ol j'en conclus

il jant ainsi

l'expression asymploùquc clierchée est

|)nls, plus simplemeiiL,

remplaçant i. a, . .■am par sa valeur, je trouve enfin

Vous voyez qrie c'est assez simple, el surlout la racine /Jt""^, qui est, à fort peu près, -^ — JTT77; il me reste à chercher si celte loi de dé croîs se ment des coefficients s'accorde avec im théorème que Poincaré a donné dans le Bulletin de la Société philomathiqtie.

Je ne puis assez, mon cher ami, vous remercier pour ce que vous m'avez appris sur la convergence des fractions continues; j'ignorais entièrement le théorème de Slern et Seidel qui est excellent et m'a fait le plus grand plaisir. En comptant que vous continuerez de me faire connaître ce que voirs découvre/, chaque jour, je vous renouvelle l'assurance de mon aïTectîon hien sincère cl bien dévonée .