STIELTJES A HERMITE
Toulouse, I.') mars 18S9.
Cheu MoNSIEun,
Après réflexion, je crois qu'il vaut mieux que mon nom ne soit pas nommé à l'égard de cette formnle
qui est due, en vérité, à M, Lipseliitz. Cette formule montre de la manière la plus simple que
Mais voici une autre formule qui met en évidence plutôt la dlfTérence 1K{j:) — ]-I {x + i) ou R(^) — J Q(.î; + 1)
Elle se simplUîe notablement dans le cas a^o,
Il faut ici sup|joser toujours a; > o; pour ^^ o, il faut ajouter au second membre - ■ La formule (I) est encore exacte ponr x = 0, et cela explique, jusqu'à un certain point, pourquoi, dans (II), il faut ajouter - lorsque ^ := 0. En effet, en posant dans (I) x =^0, le terme
donne -e ", ce qui devieiJl - pour « = o. Mais si l'on pose d'abord
;i6o CORRESPORDANCE D HEBISITE ET DE STIELTJES.
a^o, comme on l'a fait pour obtenir (II), ce terme -tï-*e~" tlispardl complètement.
Ne comptez-vous pas traiter aussi dans votre Mémoire le cas des (léveloppemenls de
Ces cas semblent intéressants parce qu'on sait, a priori, que la convergence a lieu tant que a: reste inférieur à la plus petite des deux quantités aR et 2K' et il est curieux de voir comment l'analyse opère ce choix entre K et K', Vous avez indiqué la solution de cette circonstance, qui peut paraître d'abord un peu singulière, dans votre lettre à M. K-onigsberger (Cretle, t. 8i, p. 222), mais ne songez-vous point à établir les résultats que vous y avez donnés? Les fractions continues que je vous ai communiquées pour les fonctions
je les donnerai dans le Mémoire que je prépare pour M. Jordan. J'y considère, en général, la réduction en fraction continue de
fJ^j
et vous voyez bien qu'elles se rattachent à cette étude, /(») étant dans les deux cas
LETTRE J7o. 36l
(il y a encore à changer a en a^ el à miilLiplier par a). C'est aussi en vertu d'un Lhéorème général que je peux affirmer la convergence de la fraction continiie obtenue pour
C'esl un exemple qui appartient au choix
/(■.)-,r!ioi!(^.— ^.y
mais, naturellement, on ne peut pas attendre que la loi des coefficients de la fonction continue soit toujours simple. C'est précisément en chercKaiit de tels exemples que j'ai trouvé ces résultats. Je remarque que la seconde fraction continue peut s'écrire
est divergente, elle est convergente tant que « >■ o, la résilie lion «^i serait inutile, il en est de même pour la première fractioi continue.
Mais vous vojcz bien aussi que cette transformation
donne implicitement une nouvelle manière de définir ces nombre I, (, 5,6i, ... et I, a, i6, 272, ... (nombres de Bernoulli).
Aussi, l'établissement de ces formules exige de nouvelle^ recherches sur les nombres de Bernoulli qui me paraissent essentiellement distinctes de tout ce qu'on a fait jusqu'à présent làdessus. Mais je suis occupé à simplifier mon analyse qui est encore quelque peu informe, et je chercherai aussi s'il n'j a pas de rapport avec les recherches antérieures sur ce sujet. La relation découverte par Seidel il y a quelques années ne paraît pas être liée à la réduction en fraction continue, mais j'ai lu que M. Stern a généralisé les relations de Seidel, et îl y a encore d'autres travaux là-dessus dont je dois prendre connaissance.
D'après les valeurs des fractions continues, on doit avoir
I 3 i6 ayi 7936
ce qui fournit le moyen d'exprimer les nombres eulériens i, i, 5, 6i, »385, ... par les nombres i, a, i6, 27a, ... (nombres de Bernoulli, coefficients de la tangente) ou réciproquement. J'emploie tous mes loisirs à travailler à mon Mémoire pour M. Jordan et j'espère que dans qiielques semaines je pourrai le lui remettre. Veuillez bien agréer, cher monsieur, la nouvelle assurance de mon entier dévouement.
■ UERMfTE A STfELTJES.
Mon CHER Ami,
Permettez-moi de recourir à votre bonne obligeance et vous prier de m'indiquer quelle est, dans le Mémoire de M. Lipschitz, la relation qui revient à celle que vous avez vous-même trouvée .- — jT- — ■ — -=^j-\-...j afin que je puisse faire une citation bien précise. Et puis, pour M. Lerch, dont le Mémoire traite le même sujet, a-t-il obtenu également le même résultat? M. Lipschitz doit faire tine revendication de priorité, toute bienveillante, M. Lerch n'a pas eu connaissance de son travail, s'étant confié à
11(1 Mémoire de M. Hurtwilz sur une question analogue cl dans lequel les rcclierdies de M. Lipscliiu ne se trouvent point mentionnées.
J'ai Lesoin de riîficehir sur vos équations (I) et (II) pour en l)ien comprendre la signification; comme vous avez dû battre l'estrade de tous côtés pour rencontrer cette formule !
J'avais songé de moi-même à ces nouveaux points de vue pour l'élude des nombres de BernouUi et d'EuIer, auquel vous vous trouvez amené; tout cela rendra extrêmement intéressant votre prochain Mémoire sur les fractions continues, que j'étudierai avec soin, vous pouvez j compter. Mais, en ce moment, je suis dans le cliagrin d'une gi'ande déception au sujet de la mélliode de Laplbcc. En posant
elle donne, de la manière la plus facile et la plus simple, les valeurs asjmplollques
d'où l'on tire, en supposant m très grand.
Va;;-
4 m KK' '
7lî,„ = "^^.
Ces deux fonctions conduisent donc au même résultat pour la loi de décroissement des coefficients que l'exponentielle
"Vc:.=
i l'égard des fonctions semblables,
e(a7) = S(-i)"'A,„a."", n(a-) = S(— i)"'DS.„rc''"'+
les nouveaux coefficients >JU„j el iliim sonl représentés par dos séries à termes rie sig;nes alternatifs; ainsi on a, en désignant paroles nombres impairs et par b les nombres pairs,
(ÏT
Xm^ ■-)--'—■ iZb^'" q'''~ ZaM' g"').
Or, la similitude d'expression des denx termes généraux b-'^q^' et a^'"-q''' a pour eEfet qu'on obtient la même valeur asjmptolique pour la première série et pour la seconde. Par conséquent, Xm a une loi de décrolssement plus rapide que A^ et qu'on ne peut obtenir par la méthode de Laplace qui ne donne qu'une première approximation. Cette imperfection a Lien été reconnue par Laplace lui-même, dans la Mécanique céleste; il se tire d'affaire avec une audace dangereuse dans le cas qu'il traite, mais, pour le mien, tout m'échappe et me manque, même l'audace. Quel dommage! la reîalion
montre, comme vous voyez, que la loi de décroissement, pour le carré 6^(3;), peut se conclure de ce qui concerne %f{x), mais je dois renoncer faute de moyens, faute de ressources, à toute tentative pour parvenir à %{x) lui-même.
Je vous renouvelle l'assurance de mon affection bien dévouée.
- STIELTJËS A HERMITE.
Chëii Moksieuh,
Vous avez eu la grande bonté de me demander dernièrement de détacher, du travail dont je m'occupe actuellemenl, une Note pour les Comptes rendus.
J'espère que vous ne désapprouverez pas si, au lieu de celte question du terme complémentaire d'un certain développement en fraction continue, j'ai choisi un autre morceau traitant des dérivées de séc^ et de tang^.
C'est pai'ce que peuL-êU-e quelques géomètres, en lisant ma Note, irouveront plus de plaisir à chercher une démonstration des relations que j'ai trouvées, qu'à lire plus lard cette démonstration dans \e, Journal de M. Jordan. Suivant moi, cette démonstration est assez difficile à trouver.
Je vais indiqtier comment les théorèmes sur les dérivées de séc^ et de tanga; permettent d'établir mes fractions continues. En général, lorsqu'on pose
En supposant donc que les «/ soient les coefficients du développement
OU du développement
la difficulté se réduit à calculer les déterminants A„, B„. Mais ce sont les déterminants des formes quadratiques
et les valeurs des déterminants découlent immédialemenl des décompositions en carrés.
Ainsi, dans le premier cas,
d'ûii
Dans le second cas, on obtient de la même façon A„=i!ïn!...(,>«-r,!
Je crois que l'étude des dénominateurs des réduites de ces fraclions continues ne doit pas élre négligée, mais, dans mon Mémoire, ces fractions continues ne figurent qu'à titi'e d'exemples de la théorie générale, et cette étude particulière m'entraînerait trop loin et y serait peu à sa place.
.le ne sais, monsieur, comment je dois vous remercier et
m'exciiscr de ta peine que je vous cause; croyez bien à mon (lévoûmcnt sincère {').
/- =.éc^[. + ..J,
/«) = séc^[5 + 28î + -i4sM.
/«>= sécjr[6i -h 66^3 -H 1 3203Î + r-
toss],
fi"' = spcfl^[ I 385 4- 9.4 568S + 83 664
/' = séea?iangaT[i],
aT= iggSeogSr,
/■is)=5,^c:^tanga:[5 + 6s],
fi'' = séca; lang3^[6n- 1803 + laos'
/l'i := séc:c taTiga'[ I 385 + 7 2661 -h 1
[ogaoas-!-
É!5=6LÏ+66'z2+i3ïo2-H7io', coef. de /'"i,
«s =5. [385 + 18.9,4568 + 24. 83 664, coef. de /"i et de/'",
«5= 61.1 385 + 180.7 ^66 + [20.10920, coef. de /'»' et de/"',
«, = 1385^+7 2662+ ]i> 920'+ 5 o4o^ coef. de/"'.
«1 = 2, ¥' =tanga-[a + 2ï],
«,= [6, ïW=lang3:'Li6 + 4o=H-243^],
«3= 272, <pW= taiig3;[a72 + 1232 3+ 16803^+7202*],
«4=7 936, f>"'= langa:[7 936+56 320î + i29 024,s2+[2o 96033+40 3ac
«fi=22 3G8 2J6, ç' r^ [ +3,
(,') Noie des éditeurs. — La Note jointe à cette lettre a été communiquée j l'Académie dans la séance du a5 mars 1889 {Comptes rendus, t. CVIII, p. 605-607).
Les valeurs numériques des coeflicienls des /W et ipt'l de cette Note n'ont pu trouver place dans les Compte! rendus. Nous pensons utile de les reproduire à la suite de cette lettre. Elles faisaient partie de la première rédaction de la Note en question {voir lettre 179).
368 CORRESPONDANCE Ii'eIERMITE ET OE STIELÏJiiS.
i.igï-i- 3.40» +5.142, coef.deç'*'.
