partie l'iîellc s > r
(si mes notes sont esactes). J'avoue que celle condition relative à s m' embarras se et me semble superflue, la supposition
assurant déjà la convergence, quelque soit s. Aussi, pour retrouver votre R(.'fj, je prendrai s négatif
yGoosle
i'JO CORRESPOND A SCI! b IIEIIMITR ET DE STIELTJES.
Or, les équations (4) et (5) de M. Lercli sonl (.1, Xi<v,x,^) = e-^^^r(i-s)~.K(w,i,^,s} (p.^i),
Donc, subslituaul
Appliquant ceci an premier membre de (S), on ohlienL
en égaiant ceci au .jecond membre de (ô)
2^^^i.^3^-iv)6^>2
ce qui est la formule (P).
Je partage votre cbaf^rin de ce que la \alour asjraplotique de X„i dinis
se dérobe, taudis que celle de A™ dans
e,(:^) = E(-i)'"A,„:rî'"
s'obtient sans difficulté. ^„i étant la différence de deux quantités dont Pi-ni est la somme, et vu le degré d'approximation que donne ordinairement la méthode de Laplace, je crois qu'il est probable que le rapport A.,„ ; A,,, sera de l'ordre — ou, enfin, d'une puissance
LKTTHI! 178. 371
négative de m à exposant fini, en sorte C|ue le rapport ^/x™ à ^/Am est sensiblement =1.
ïlme semble peu probable, en effet, qu'il y ait une compensation plus complète dans les deux parties de ^,,1- Cependant, il faut avouer que cela n'est qu'une conjecture toujours incertaine, et si j'avais un peu plus de loisir, je serais beaucoup tenté de consacrer quelques efforts pour trouver la vraie valeur asjmptotique de X^. Mais ce sera difficile, je crois, et, pour moi, il est absolument inutile de m'occuper d'une question de ce genre si je n'ai pas le temps nécessaire. Je ne réussis qu'en revenant toujours à la charge et avec la volonté ferme de parvenir au but.
Je me suis aperçu que mes résultats relatifs aux dérivées de séc:c et de tang^r s'appliquent presque sans changement aux dérivées de
sinama;, cosam?-, iama^
Je considérerai seulement
je 0.1
pose Lroiive
l-sin
an:i'cln^[— 1],
.r.»(ln:t[,-4-4i
stia'dna^C-i —
+ (6oi + iA
oi.)j
ED»[-]i4t'
iSoft'
js' / f
îonsidère d'ab.
ord les
dcr
ivée
5 d'ordi
■'=Cil,
iî'
CORRESPONDASCE B HERMITB ET DE STIELTJES.
+ (CîX, + ...)^
i ib sol iim en l comme dans le cas de sécr. Du méine pour les dérivées d'ordre impair. Ainsi, par exemple,
a^ = (\ -h f,U'^-i- i^/c^y^ + (60/! -\- i-io/c^y- -h (iiok^)\
nu si je pose, pour simplifier, a/f^ /,
«^=(n-iW^+^)!-t-(9ii + 5li/a+/s)î^-(2ici;2-i-3o;i)'-r-(i|oi^)%
1c^[ + S3o3;î +-544(5/' -t-a.Io.'io/«-i-[c)i3/'^i'".
Ce sont exactement les valeurs données par Briot cl. Bouquet (p. 461) et qu'ils ont obtenues à l'aide de votre belle méthode. Pour /fz^i, on retombe sur mes premières formules qu'il était bien nécessaire de découvrir d'abord. Et voici maintenant coniuicut ma première fraction continue se dédouble
iam;e-^=rf5 = -
ik-^
mze--^'dz
Je n'ai pas encore considéré sinama;, mais je vois bien que ce cas exige une légère modificalion. Aussi, je n'ai pas encore réduit les intégrales
à la forme
ce qui est très essentiel pour moi. Mais tout cela va me donner encore beaucoup de travail. En effet, j'étais asseï satisfait de Ja démonstration de mes théorèmes sur les dérivées de sécx et de tangue. Mais, si je voulais tenter une pareille démonstration pour cnx, dna^, la chose serait bien possible, mais cependant très pénible. Or, ces relations me semblent si simples que je ne peux douter qu'elles ne soient l'expression de quelque fait analytique également simple. Il faudra trouver cela.
Sachant que vous prenez intérêt à la loi des coefficients ai, O, dans les développements des fonctions elliptiques, j'ai cru pouvoir vous communiquer ces résultats. Vous voyez que, dans mes recherches, je me suis rapproché maintenant du sujet qui vous occupe actuellemenl, les valeurs asymplotiques des coefficients.
En vous remerciant, cher Monsieur, des bonnes paroles de la fin
374 CORBESPOKBAKGE d'hEFMITE ET ])E STIELTJfiS.
île votre lettre, je peux vous assurer que je tâcherai d'être toujours digne de l'intérêt que vous voulez, bien montrer pour voire dévoué.
