HERMITE A STJELTJES

Mon CHER Ami,

Comtien vous êtes bon et complaisant de m'avoir fait profiter si eomplètementde l'étude attentive que vous avez faite des Mémoires de M. Lipschitz et de M. Lerch; le premier étant écrit en allemand, je n'aurais pu parvenir à y voir ce que vous avez bien voulu m'expliquer avec la plus entière et la plus complète clarté.

J'ai été enclianté des belles formules que vous m'avez envoyées pour les Comptes rendus; votre article sera présenté à la prochaine séance de l'Académie et j'espère bien que M. Bertrand ne fera point difficulté pour son insertion. La commission du budget a rogné de loooo*^'', je crois, l'allocation accordée à l'impression des Comptes rendus, qui s'élevait à la somme importante de Soooo'^''.

Vos expressions des dérivées successives de cnx et les fractions continues que vous avez découvertes pour les intégrales

me ravissent; à coup sûr, personne au monde analytique n'a jamais eu votre idée si heureuse, si ingénieuse de la décomposition en carrés de vos formes quadratiques à un nombre infini de variables . Verriez-vous inconvénient à ce que je mette ces résultats, vraiment surprenants, sous les yeux de M. Darboux avec qui je m'entretiens de vos intérêts? C'est ordinairement le lundi que j'ai occasion de le voir et de causer amicalement avec lui dans le cabinet de M. Ker- Irand, qui, je saisis l'occasion de vous le dire, partage entièrement nos sentiments à votre égard.

Soient F(37) un polynôme de degré n qui n'a point de racines réelles, et G{x) un polynôme arbiti-aire de degré n — 2; je voiis propose comme exercice pour vos élèves à la Faculté de démontrer

que l'iiilegra

t invai'ianL siimiltanc des formes

Cette minime question vous montre que j'ai repris mes leçons i\ la Sorbonne; je me propose cette année de donner la méthode de Laplace pour la convergence des séries qui représentent les coordonnées elliptiques, avec quelques petites simplifications dont vous m'avez suggéré la principale. Vous m'avez fait remarquer que la série proposée élanl Si^u si Laplace pose la condition H„z= Wn-i, c'est uniquement parce que, dans son cas, l'équation est plus simple que D„ m„ := o qui est la vraie au fond.

Étant ainsi fixé par vous, je raisonne en employant la dérivée, après avoir préalablement formé l'expression asymplotique de u,i ; on abrège de cette manière les calculs, et la méthode prend une apparence plus régulière.

Quelle désolation, quelle humiliation lamentable de ne pouvoir mordre sur %{x) et H(3:^) qui sotil si voisins de 0i(a;) elH,(x)!

Avec mes plus vives félicitations, mon cher ami, pour vos nouvelles découvertes et l'assurance de mon affection dévouée (').