STIELTJES A lŒRMÎTE

Toulouse, 22 mars iSR<)- Cher Momsieuh,

Votre lettre m'a engagé à faire la Note ci-jointe que je vous prie de substituer à celle que je vous avais d'abord envoyée et qui est, en effet, un peu longue. Celle-ci étant plus courte, trouvera plus facilement grâce,

ée, semble s'intercaler nalurcllc-

376 CORnESPONDANCE B'nRRJIITE ET BK STIEC.TJKS.

La formule pour le sinam est

Les polynômes qui figurent dans le développement de sinam:c sont décidément plus difficiles à obtenir que ceux qui figurent dans les développements de cosama; et de Aam^r. C'est ce que vous avez trouvé aussi.

Je ne vois aucun inconvénient à ce que vous pariiez à M. Darboux, ou à qui que ce soil de vos amis, des recberchcs scientifiques qui m'occupent.

Votre exercice sur l'Intégrale / -„-— ^rfa: sera, je le crois, im

peu difficile pour mes élèves, mais je verrai (').

Ce qui manque surtout à la vie des facultés de province, ce sont les bons élèves. Les meilleurs que nous avons sont naturellement les boursiers d'agrégation, mais ces pauvres gens ont à subir un concours bien redoutable et l'on ne peut pas trop leur reprocher qu'ils tiennent exclusivement à leur programme et ont peu d'inclination à s'occuper d'autres choses. Quant aux autres, ils se contentent presque exclusivement d'être reçus licenciés, et encore est-il matériellement impossible de traiter toutes les matières du programme dans un cours d'un an, à raison de deux leçons par semaine. Il ne faut pas oublier qu'il n'est pas possible de laisser de côté les premiers éléments comme on peut le faire à Paris, car enfin, ils ne savent pas prendre une dérivée et il faut le leur apprendre.

Aussi, peut-on consacrer, par exemple, deux ou trois leçons an plus aux fonctions d'une variable imaginaire. Et cette année j'avais à expliquer à quelques-uns de mes élèves qui, après avoir obtenu la licence, aspiraient à l'agrégation, le théorème de Cauchy

(') Note de M. Stleltjes. — Je ne suis pas sûr s'il j en aura un qui saura ce

(;L de M"'* de Kovvaiewskl sur ios équations aux dérivées partielles ! NaUirellemenl, il fallait bien leur donner d'abord quelques leçons complémentaires sur la théorie des fonctions.

Mais voilà bien des jérémiades qui ne cbangeront rien. 11 faudra beaucoup de temps et surtout d'esprit de suite dans la direction de l'enseignement supérieur pour relever le niveau scientifique des facultés de province.

Je veux réfléchir de temps en temps un peu sur la valeur asymptolique du coefficient À,m dans le développement de &(x). Mais je crois bien qu'il faudra suivre une mélKode toute différente (le celle de Laplace.

Veuillez bien accepter, cher Monsieur, la nouvelle assurance de mon entier dévouement.

- flE/lMJTE A STIELTJES.

Cheu Ami,

Je vais risquer une tentative bien hasardeuse pour avoir la valeur asjmplotique des coefficients de Q[x) et de H(a:), voici mon point de départ.

La méthode de Laplace pour obtenir la valeur approchée de la série

dont les termes vont d'abord en augmentant jusqu'à un maximum pour décroître ensuite indéfiniment, a été appliquée par lui au cas où la fonction y{n) se compose d'un produit de facteurs élevés à de grandes puissances, et c'est ce qui arrive dans les exemples que j'ai traités. Remplaçons l'entier n par une variable X^ l'analyse de Laplace revient simplement à prendre pour valeur approchée de S l'intégrale / f[x)dx, et à déterminer cette intégrale par la

méthode donnée dans la théorie des probabilités. La fonction y(j7) étant supposée nulle pour x^o, x=^co et avoir un maximum unique pour x ^^, on pose

yGoosle

378 cou DES POND AN Cli d'heRUITE ET I>E STIELTJES.

de sorte que la nouvelle variable t croit «le — » à 4- ce. Dans \c, cas où /(se) est de la forme [F(a^)]", la valeur de dx s'oblienl sous forme d'une série en i, et contenant les puissances' successives de — ! ce qui permet d'atteindre une approximation qui

C'esi de là simplement que se tire l'application si Importante à la convergence des séries qui représentent les coordonnées elliptiques et aussi toutes mes applications. Vous direz que mon audace ne connaît pas de bornes, etje ne vous contredirai certainement point, mais, plutôt que de ne rien faire, je me propose, en partant de l'expression

d'évaluer chacun des termes par les intégrales

traitées comme le fait Laplace. Je prendrai un terme de plus,

j'emploierai le terme en —= dans le développement de dx, suivant

/m les puissances de t, cl puis, va comme je te pousse, advienne que pourra.

Le luxe en côtojant la misère la rend plus sordide, plus humiliante, je considérerai les séries doubles ^/(m, n), où la fonction de deux indices croît aussi jusqu'à un maximum pour décroître ensuite, qui s'offrent comme coefficients de x"'y" dans les développements des 0 à deux variables.

Et, comme Laplace dans les probabilités a étendu sa mélbode aux intégrales doubles

y)dx(.Iy,

je prendrai son résiiUat pour valeur approchée de la série, à l'aventure !

Que pense?;-voiis, dans votre sens analytique inùine, de Li lentative?

Voire bien affecLuciiseinenL dévoué.