— H ■+. ! /GK — H^ ^ __ — H — ' \/GK — H

Si l'on admet que dans So le coefficient de i soit positif, on a k valeur

tandis qu'il faut prendi'e

si le coefficient de i dans cette même quantité est négatif. C'est, en effet, la conséquence de l'expression générale de l'intégrale

CORlIESl'OPiDANCIi 1) llltllSin

/ f{l)dt par asTiS, oii S esL la somme des résidus àr: fit)

pour les seuls pôles qui soient au-dessus de l'axe des absnisses. En appliquant cette règle au cas particulier de

r^" dt Ti

où A ^ a; — a ^ v'^^ — I , ^^x — a + y'.î;- — i ; vous voyez qu'il faut prendre, dans le second membre, le signe + ou le signe — j suivant que le coefficient de i dans

;st positif ou négalii', ou encore suivant que la partie réelle de

est positive ou négative.

Cela posé, j'envisage le cas de a. influlmeiit petit, puisque je dois faire le développement, suivant les puissances croissantes de a, de

11 suflît alors de considérer la partie réelle de encore de ,r -i- \/a;- — i. Soit donc

^ ^ iy ^ i/(3^-i- <^)'- 1 - X -H i-i.

L'équation X ^; o donnera la limite de séparation des régions du plan où X est positif de celles oii X est négatif. Or, on a

et l'équation

se réduit, en faisant disparaître les radicaux, simplement k x=^q. C'est la conclusion donnée par M, Jordan; mais qu'il est peu

«grénble et pc.n honoraljle de faire disparaître les radicaux comme font les derniers des écoliers! En lout cas, la remarque esL, je crois, à faire dans mon premier oii mon second volume.

En attendant voti'e avis, croyez toujours, mon cher ami, à mon bien sincère al.tacliemenl.

M. Soiiine, professeur à Varsovie, a trouvé une forme nouvelle du reste pour la formule sommatoire d'Euler el celle de Slirling.

Dans cette dernière, ;ni lieu du terme complémentaire e.B„ ;

,ùo<(J<^- Vous verrez son -.i

licle dans les CoiiipU'n r

■ HrlELTJKH A HERMITE.

Cher Monsikur,

Je ne peux assez vous exprimer le plaisir que vous me faites en acceptant mon offre de vous aider à la correction des épreuves d'une seconde édition de votre Cours, et je ne pourrai m'occuper plus utilement pendant les vacances, car les terribles chaleurs, à Toulouse, ne permettent point un travail un peu difficile.

C'est vous qui m'avez appris quelque chose sur les intégrales X„ ; sachant ce qu'a fait là-dessus M. Heine, je n'ai pas pensé à faire mieux; votre méthode à lever l'ambiguïté du radical dans la formule / T-n — D lïifi semble bien préférable. La seule chose dans

ma lettre qui pourra vous avoir été agréable c'est la méthode simple (de M. Heine) de reconnaître que les parties réelles de

yGoosle

A vrai dire, je

i écrit sLirl'inLégrale

my '*■"'"""

a été rédigé avec assez de soin pour être imprimé. Si vous croyez qu'il soit préférable que je refasse une nouvelle rédaction, je suis tout disposé à la faire.

L'expression du reste de la formule de Stirling de M. Sooine est bien jolie. 11 j a quelque temps, j'ai trouvé wae démonstration (pour ainsi dire synthétique) de la formrile

lo-r(a)'

qui me semble assez curiense, étant fondée sur votre notion de coupure d'une intégrale définie et votre formule pour la différence des valeurs d'une intégrale définie aux deux bords de la coupure. Mais, comme cela se rapproche un peu des recherches de M. Bourguet, je ne veux pas publier avant lui — Aussi, la détermination de la constante -log(an) qui figure dans ta formule s'obtient plus royalement dans ma méthode que d'ordinaire.

Ayant rédigé à peu près cela et sachant que vous donnez dans votre cours la théorie de la fonction [', je vous offre ce que j'avais écrit là-dessus, ce qui, bien entendu, ne vous oblige nullement à le lire ni à me le renvoyer; vous pourrez détruire ce manuscrit, car je ne songe nullement à le publier.

Je suis toujours entièrement abîmé dans mes fractions continues.

Mais ne faudrait-il pas publier en même temps dans le Bulletin votre premier caîciil de

par un développement en série. C'est là une mctJiode, peut-être moins simple que de poser a;=:pcosâ, j'r=psin9, comme vous l'avez remarqué. .., mais elle pourrait bien s'appliquer à d'autres

cas C'est ce que je dois laisser à votre jugement. Je joins

seulement la lettre qui contient votre calcul.

En vous renouvelant, Monsieur, l'expression de ma vive grati-

LBTTRK 192. 4o5

Tiiln accepLer mon offre, je suis Loujours

- [fEllMITË A STIELTJES.

Mon CHEii Ami, Je viens de donner à M. Darboux ^olre détermination de l'intégrale fil pr"^ dxdydz^ dont la rédaction m'avait paru excellente, sans que j'y aie trouvé un mot à changer. Mais, pour plus de sûreté, M. Darboux vous enverra les épreuves à corriger, ce qui vous permettra de faire les changements que vous jugerez à propos. Âi-je besoin de vous exprimer avec quel intérêt j'ai lu la brillante esquisse de la théorie de la fonction logr(a) que vous m'avez envoyée ! Je dois, la semaine prochaine, partir de Paris pour passer en Lorraine, dans ma famille, le temps des vacances de Pâques; c'est de là que je me propose de vous écrire ce qui pourra m'être suggéré par l'étude attentive de votre théorie si neuve et si originale. C'est aussi pendant ce temps que je voudrais rédiger à tête reposée, comme vous l'avez à Toulouse en province, plus facilement que les lïialheureux Parisiens, les applications de la méthode de Laplace dont nous nous sommes entretenus. Mais je suis bien malheureux en ce qui concerne ©(.î^) et H (37); il faudra me borner à l'indication bien hasardeuse qui consiste à prendre un terme de plus dans l'approximation de l'intégrale définie qui n'est, hélas, qu'une approximation de la série à évaluer. Ce qui adviendra de ma tentative sur 6(^, jk), je ne sais, mais je ne vous cache pas que j'ai peu de confiance dans Je résultat, à cause de l'expression assez compliquée qu'on trouve pour le maximum de la fonction

Vous serez donc, mon cher ami, pendant les grandes vacances, mon collaborateur et mon associé pour une œuvre dont je serai à profiter seul ; j'accepte votre concours et, je vous le répète, de grand creur; sans vous, le courage m'aurait manqué et je n'aurais pas

CORIIESI'OXDANCE D IIERJIITI

entrepris cette seconde édition si nécessaire pour qu'aprx laisse un Ouvrage élémentaire moins incon-ect.

En vous renouvelant mes remercîmenls et l'assuraucc affectueux atlachemeni.