HERMITE A STfELTJES
Ne soyez point surpris si ma correspondance est un peu interrompue, un nouveau deuil de famille m'oblige de partir en Lorraine.
Je ne sais point au juste quand je serai de retour à Pai-is.
Pour essayer de me distraire, permettez- moi de vous dire comment, à la leçon que je devais faire demain et que je ne ferai pas, je ine proposais de donner les deux formes du terme complémentaire de la série de Stirling.
Après avoir obtenu
J = y ■fyx)e-',tT.
ce L|iii permet d'éciire
je [..ose
a met
Il vient amsi
r" iE'^^ dx r" aR^"^i d^
et, en eliangeant ^ en — \
1 r' '-■•■' rfj
LBriiiE 194.
Cetii étant, le développement log([ — e -^ï)^ — N doi
immédiateident
Je vous renouvelle l'ahsiiraiice de mon allectueux attachein
- SriKLTJES A HËRMITE.
Je vais vous présenter quelques remarqTies très élémentaires : c'est votre grande bonté qui me fait espérer que vous les accueillerez avec indulgence.
Il y a quelques mois, vous m'avez fait remarquer que le coefficient du binôme (m),! est divisible par -^ , d étant le plus grand commun diviseur de m et n. Donc {■m),,, terme constant dans le développement de fa; H — j > est un nombre pair. Mais je trouve que ce nombre est aussi divisible par ii~\-\. Voici quelques exemples :
e j'ai été amené à cette remarque. Je
4o8 RORRRfiPONDANCF, d'HERMITK UT DE S
considère la fraction conlimin
11 est clair que la réduite d'ordre n a celle forme
a, 6, ... ; a' , y, ... étant des entiers. Donc, par la division, on voit que, dans le développement suivant les puissances descendantes àc X
tous les Ai sont des entiers.
Mais
d'où l'on tire sans peine.
Je n'ai pas cherché une démonstration purement arithmétique. J'ai commencé par dire que {2n)„ est pair, mais, pour savoir au juste quelle est la plus haute puissance de 2 qui divise (an),,, je calcule les nombres
et j'ai la régie suivante :
Si, parmi les nombres
(dont le dernier est i) il j en a A: qui soient impairs, alors 2* est la plus haute puissance de 2 qui divise (an)/,.
D'après cette règle, si je suppose n := 2* — i, j'aïu-ai
donc, dans ce cas, 3'':= n-j-i est la plus haute puissance de 2 qui divise {in)„, c'est-à-dire le nombre A,, est impair. J'ajoute que tous les autres nombres A„ sont pairs.
En effet, d'abord si n est pair, A„ l'est aussi parce que (211),, est toujours pair. Je n'ai donc qu'à considérer Je cas ofi n est impair mais point de la forme a'f — 1 .
Ainsi, on aura
L an moins égal à 3. Cela
Donc, dans la série
il j en a au moins /■ + i qui sont impairs, savoir les r premiers et le dernier. Donc, si 2' est la plus haute puissance de 2 qui divise (211),,, on a
donc A„ est /)«(>.
Voici une curieuse génération des nombres \/,. .le Ibrrac le Tableau suivant ;
d'après la règ-le sui vanl.e : SoÎL ]a colonne vcrLÎcale à l'en-têtr
paii-
on en déduit
.+ fl
Vous voyez figurer dans la première ligne horizonlale le^
LBTTBR 19t. 4"
nombres A„, mais ce qui est plus curieux le voici : Prenez la somme des carrés des nombres qui se trouvent dans une colonne verticale, on retrouve la série
I, I, 2, 5, [1, 4''., !32, 4->9- '4^0, = A,, A,, A^, A,i, A(, Ai. Ac, A,, kg,
Mais ce n'est là qu'un cas très particulier d'un que j'ai obteim en considérant ce problème.
Etant donnée une fraction continue
fiygfs
en déduire le déçeloppemenl
J'ai été surpris de voir qu'il restât encore à trouver quelque chose sur un sujet aussi élémenlaire.
On s'assure aisément que A,, est une fonction entière homogène de degré n + i des quantités Cu, c, , . . . , c„, les coefticieuts étant entiers el positifs.
La sohition que je propose est renfermée dans les deux théorèmes suivants :
Th
