HERMITE A STIELTJES

Mon CHi.]i Ami,

Voire lettre, qui m'intéresse vivement, me parvient en Lorraine où j'ai été appelé par un deuil de famille, comme je vous l'ai écrit ayant de partir. Je m'empresse de vous informer que, dans l'un de ses nombreux Mémoires dont je pourrai, s'il estnécessaire, obtenir l'indication en m'adressant à lui-même, M, Catalan a obtenu la propriété du coefiicient binomial (an),, à laquelle vous avez été conduit. De quelle manière l'a-t-il démontrée, je ne le sais, mais voici la mienne. Considérant, en général, l'expression

je désigne par S le plus grand commun diviseur de m -|- r et «, el je pose la relation

on A et B sont entiers. Cela étant et après l'avoir écrite ainsi

S = (m-H-Hi)A-i-(A + B)7i, je multiplie les deux nombres par le facteur

ce qui donne facilement

En représentant par E le second membre qui est entier, on a

/(iS tORHKSPONOAN'ÏK D'HKRMITR El- DE SIIHI.TJUS.

donc

el vous voyez ainsi que ('»)i; est divisible par — — -Ti; Soit

m = 211, les entiers a/j + i et » soni premiers entre eux, 3 ^ i et le coefficient (211),, est effectivement divisible par h + i; mais votre méthode, tirée d'une identité algébrique, est puisée à la vraie source des plus importantes propriétés des nombres. Je vois avec infiniment de plaisir combien vous avez heureusement profité du rapprochement si original et dont personne n'avait jamais eu l'idée de la décomposition en carrés des formes quadratiques à un nombre infini d'indéterminées avec la théorie des fractions continues algébriques. Le Mémoire auquel vous travaillez sera extrêmement intéressant, on se rappellera peut-être en vous lisant, qu'autrefois, il y a bien des années, les fonctions V, Vi , Va, ... du théorème de Sturm, qui ont pour origine un développement en fraction continue, ont été aussi rattachées à la décomposition en carrés d'une forme quadratique, mais ces questions sont maintenant si loin de moi, qu'il me faudrait pour y revenir un eBTort que je n'ai pas le courage de faire. Et puis je vais tâcher de rédiger les applications de la méthode de Laplace dont je dois faire un article pour l'Institut de Bologne. En comptant au besoin sur vous, mon cher ami, pour ce travail si quelque chose survient qui me fasse obstacle, je vous renouvelle, avec mes félicitations pour tout ce que vous venez de rencontrer, l'assurance de mon bien aifectueux attachement.