STJELTJES A HEHMITE

Chek Monsœou,

Vous avez parfaitement raison, parmi quelques Mémoires de M. Catalan, que je possède grâce à l'obligeance de l'auteur, se trouve un article Sur les nombres de Segjier. M. Catalan désigne par T„ le nombre de manières dont un polygone convexe de Il côtés peut être décomposé en triangles au moyen de ses diagonales. L'on a T, =3 2, Te ^= 5 . To =: 1 4, ■ . ■ , ce sont précisément

LETTRK 196. 4'7

les valeurs de A^, A3, A4, .,., elil doit y avoir là-dessus des articles dans les Tomes III et IV (i" série) du Journal de Lioupille. Je reviens un instant sur mes formiiles

-I- C(,e,c,(a,,iX,-î- ni,sXî + . . .)' -f-CoCiC3CaC4(a,,sX|-+-. ..'f

c^ci(6(,oXi,-+-6c,iX, -+-èti,2Xs-4-...)' -H coCiC5C3(6,,,X,+ 6|,îX, + ...)'

■-I- Cl, (i, Ci Cj Cl C5 ( 6i,2 Xj -+- . . , )*

pour remarquer que leur vérilicalion est, pour ainsi dire, immédiate.

En effet, supposons que, par le développement des seconds mcmhres, on obtienne

je dis d'abord que l'on a

ICn effet,

^,-,t =c„C|è„.,-èo,(. -HCi,C|C,C36i,,-6,,i -1- ... mais les lois de récurrence sont

6j „= II-2.;,-|- t|;«3,.l,

4lO COllRKSL'ONDANCE D HERMIPU ET DK STIfîLTJKS.

Exprimons donc les ao,A f.) par les b^, 4 et les h^ i par les a^, ,, ... , on aura

+ C(,c, CsC3CtC56j.t(o;j,(+ Cjaa,,-)-!-

L'identité de ces expressions est manifeste. Il est clair qu'on a ponr la même raison

donc

d'où il est facile de conclure que l'on a généralement

lorsque

On voit par là qu'il existe effectivement une série de quantités

qui satisfont identiquement aux relations (I) et (II).

Ce point établi, on connaît aussi les valeurs des déterminants I A„ A, ... A„-, I I Al Ai ... A„ I

et l'on en conclut que la série

donne la fraction continue

Vous voyez que celte vérification est bien simple, mais j'ai été conduit à ces formules par l'examen attentif de certains cas particuliers, principalement ceux que j'ai indiqués dans les Comptes rendus dernièrement.

Mais je vais montrer maintenant que l'on peut se dispenser de considérer la forme quadratique

à condition d'écrire la fraction continue sous une forme légèrement modifiée.

On a, en effet, aussi

la «''""' réduite, ici, est idenlique avec k (s «)'*""= réduite de la première fraction continue.

D'autre part, d'après l'algorithme, on a

en sorte qu'on peut énoncer cette proposition : L'ideniité

entraîne, cette autre identité

A.0 A, As A, __

J'ai pensé aussi comme vous qu'il doit exister certains rapports entre mes formules et les recherches sur !e théorème de Sturm et

l\0.a CORKESE'ORDANCK ll'HERJIiri'. HT l>H STlKLT.InS.

sur votre métliode pour trouver le nombre des racines réelles, basée sur la considération de certaines formes quadratiques. Ces deux méthodes, si différentes au premier abord, ne le sont cependant pas pour le fond, je crois. Mais, en ce moment, je n'ai pas toutes les facilités pour étudier ce sujet, la bibliothèque étant fermée pendant les vacances.

Veuillez bien me croire toujours, cher Monsieur, votre profondément dévoué.