HERMTTE A SriELT.IF.S

iSSt).

MojN cuEa A.J11,

ïl me semble qu'il n'y ait plus rien à ajouter au dernier tliéorème que vous m'avez communiqué; l'identité

d'où vous concluez

constitue un résultat définitif et que je juge le couronnement de vos reclierches. Ce n'est point du premier coup que vous y êtes parvenu, mais vous n'avez pas à regretter vos efforts; il n'j a certainement rien dans les nombreux travaux dont les fractions continues ont été le sujet, de notre temps, qui approche de voti'e beau théorème. Le point de vue sous lequel vous vous êtes placé est entièrement nouveau et, quand j'ai, autrefois, touché à la question en m'occupant du théorème de Sturm, c'est d'un autre côté que je me suis dirigé, comme vous allez voir, par la remarque suivante, qui est d'ailleurs sans poi'tée. Vous savez qu'en posant \^{w-a){x~b)...{^-i),

il'o!

isage la forme quadratique

c|iii est une fonction symétrique des racines, le nombre des carrés est égal au nombre des racines réelles moindres que x, augmenté du nombre des couples des racines imaginaires. El si l'on pose

les coeflicienls de ces carres sont la suite des déterminants

Généralisons en remplaçant la forme F par celle-ci

^--(X-HaV-t-...)*-f- -^Tb''-'^^''^^ ...iî-H,..^*

Xi - V ^

\ ^ Zàx -a" "'