V -Zj (^-«)t:r-è)(:c-c

J'observerai que les quantités io, i|, i^, - - . ne changent point en remplaçant dans * l'indéterminée X par

\ -arY — a-^Z— ....

ce qui donne la transformée

Cela posé, soit on aura

Vous voyei ensuite que tous les autres coefficients sont des. polynômes entiers en x, et de l'expression sous forme de détcr-

k-il

co

im(SPONOANi:E d'herhiie et

11K STIEr.TJRS

minanl

Pi.n P|,i

Pi-^1,0 Pi.M,1

.. Pm+1 Pi,;+i

résulte qu'un yieiit écrire, en <:lésiênaiit. par G cl H des polynômes

Mais peut-être vaudrait-il miens employer, au lien de la forme 6, cette autre transformée de "5, pour laquelle les quantités i; sont les mêmes que dans F,

^-^^\^ + {x-a)\^{x.-aYZ + ...\K

Les coefficients s'expriment alors parles sommes des puissances

^{a^ — a)"'= S|,3^"'— m, S,3^'"-i-l- m^'&iX"'-- —

Encore un mot an sujet de l'intégrale / f[x)dx et de la

métliode de Laplace, qui consiste àposer y"(3;) =^ /"(«)e~'' lorsque f{x) n'a qu'un seul maximum pour x ■= a.

En posant F(a:)=:i/log=^T--^) cette équation devient F(^) = i, avec la condition de a; = a pour ( :^ o. Ne convient-il pas de remarquer que la valeur de x sous forme de série en t se tire de la formide de Lagrange pour la résolution de l'équa tion x ^^^ a-H ( f (^),

a; = « + \^ -^ . lorsqu'on fait, après la différentiation,

a: — a? Il suffit, en cfTet, de poser ^-^ = F(a;) pour obtenir la proposée.

En vous informant que je serai de retour à Paris dimanche, je vous renouvelle, mon cher ami, l'assurance de mon bien alfectueux attachement.

- STŒLTJES A HERMITE.

11 y a certainement des rapprochements à faire enti'e mon travail et les travaux classiques sur le ihéorèine de Sturm et sur votre méthode. La forme quadratique

^(Xo+èXi-i-ôîXî-^-...)'

est aussi de celte forme particulière VA/^aX^X/,, le coefficient de X/X*. . . dépendant seulement de ( + k, et je remarque encore que le point de départ de mes reeherches est la recherche du 1 d'une întéerale

c'est peut-âtre aussi à rapprocher de l'expression F. Mais nous voilà à peu près arrivés à la fin des vacances et, mon travail ayant pris plus d'extension, il me reste encore beaucoup à faire.

Je ne crois pas me tromper (mais je n'ai pas en ce moment la bibliothèque à ma disposition) si je me rappelle que votre remarque sur l'application de la série de Lagrange au développement de x suivant les puissances de t ayant /(j;) ^f{a)e~'' se trouve déjà dans l'exposition même de Laplace de sa méthode.

Voici une curieuse identité algébrique que j'ai rencontrée chemin faisant. Parmi mes fractions continues est la suivante :

.fi^

il24 CORIiEStONDANCB u'hRBMITK ET DE ST1ELTJES.

pour « = i , 2, on retombe sur les deux premières que j'ai obtenues, cette formule est même renfermée dans une autre où figurent deux paramètres a et 6.

Mais je prends a = — ?;, n étant entier et positif, alors

Je ne croîs jias f|ue ce soit faeile à démontrer d'une autre façon.

11 me faudra encore beaucoup de travail pour coordonner les résultats que j'ai obtenus et surtout pour m'assurer qu'il n'en reste pas d'autres qui m'auraient écbappés, de manière à avoir un ensemble à peu près complet.

En vous renouvelant, cher Monsieur, l'assurance de mon entier dévoùment, je suis toujours votre très reconnaissant.

- I/EIiMITE A STIELTJES.

J'ai donné dernièrement, dans une leçon, pour origine à la série de Gudermann, qui a beaucoup attiré votre attention, l'intégrale

En employant {'identité

on obtient, en effet, una somme de termes représentés par l'intégrale

— -dl

qui reproduit la quantité J en y changeant a en a-i- ii. Comme on a J^ — 7 où £ est -< i , le terme complémentaire a pour

limite supérieure — el devient nul pour n iTiHiii, ce qui

démontre la convergence de la série

Je suis peu satisfait de ce que dit M. Serret dans le second volume de ses Leçons, pour démontrer directement cette convergence. Il me semble nécessaire, en restant dans le cas de a réel et positif, d'employer le développement

qui donne pour limite supérieure du logarithme la quantité

rzia-^/c)'^ 6{a + Ay-''

d'où une somme de deux séries convergentes, pour limite supérieure de la série proposée.

Vous m'avez, hien surpris en mapprcnant que la forme quadra-

appartient au type \^ A/^^X/X^, dont vous avez le premier reconnu

426 COllIlKSPOND.

l'importance; il en est d

ERMITR ET l>E STiELUeS.

! évidemment de celle-ci

dont j'ai fait aussi usage. Mais y aiirait-il lien, pour l'Arithmétique, de distinguer ces formes, et intérêt de chercher, ce qui est encore une question d'Algèbre, les substitutions qui conduisent à des transformées de même genre XA^-^^X^X^?

En vous renouvelant, 1 affectueux attachement.

- SriELTJËS A HERMITE.

Chei, Mor^siETin,

Me sentant un peu fatigué, et aussi à cause de mes conférences..,, j'ai dû interrompre, pour une dizaine de jours, mon travail, mais je compte bien le reprendre bientôt.

Voici une petite remarque, sans aucune portée d'ailleurs, que j'ai faite sur un passage de la Théorie analytique de la chaleur dont nous devons une si belle édition à M. Darboiix.

Fourier, pour obtenir le développement

pose X -=,0 dans cette relation et dans celles qu'on en déduit par des différenîiations successives, il obtient ainsi r =«+ b^ c-h d + ....

n de ces équations lui donnent les n premiers coefficients et, posant ensuite n ^<x>j il obtient

LETTRE 200. (\-l-]

ï\ esl clair que cda revient à délenniner une expressloii

(p„(,j:) = a, cosa^-Hd, cos3,r +...H-«„ cos(an — [)■''

par la condition que le développement de '■o„{-t) soit de cette forme

Or, je remarque que l'identité donne faeilcment

(.in«)"-i.A. Uiii»