HEBMITE A STIELTJES

Mojv CHEJi Ami,

Vous ne pouvez pas douter du plaisir que j'ai eu à lire votre ingénieuse et élégante analyse et vous voudrez bien recevoir mes compliments pour ce que renferme d'entièrement neuf l'équation ffl„{^) =r I -\- kiiX^"-^. . .; n'y a-t-il point là quelque écho éloigné, quelque réminiscence des fractions continues? Maintenant, je viens faire appel à votre charité en appelant votre attention et vos observations sur la façon dont je présente la méthode de Laplace sur le développement des coordonnées elliptiques {Méc. céL, l. V, Supplément). Je raisonnerai de préférence sur l'anomalie excentrique au lieu du rayon vecteur; on a alors la série

43o OOHUESl'ONUANtB w'ilHHlLlIE ET DE STIËLTJES.

cette quantité T„j a pour maximum

j. étant l'entier contenu dans — et il s'agît d'obtenir, pour m très

grand, la valeur approchée de - ^ . ,„,; c'est-à-dire de la

série

S=/(o)+/Xlj+...-H/(/-)-(-...+/([^),

en oosant

J'introduis dans ce Lut, au lieu du nombre entier /■, une variable x; je fais pour cela

De cette manière, une valeur approchée de S esl donnée par l'intégrale définie / f{x)dx, qu'il s'agit d'évaluer elle-même

par approximation,

Admellant, comme le dit Laplace, que les termes de la série S vont d'abord en croissanl et qu'ils ont un maximum après lequel ils diminuent; je cherche ce maximum en posant /'(a;) = o. Les expressions asympto tiques de r(a:: + 1) et T[in — x -{-'i) me donnent d'abord

Je néglige les deux derniers termes; je remplace — — - par

et je trouve, pour déterminer le maximum, l'équation de

la Mécanique céleste

e a; ^ ç ^ o,o83 07 m. Cela étant, je dis

sont l'une et l'antre très petites. On a, en effetj

quand /n augmente, bien plus rapidcmeul que n'augmente la puis-

sance

-l-f\ = (1.2. . .)™~'. Quant à -Jif7 c'est zéro ou

jTT -j^-^ — — . mais celle remarque a peu d'importance,

comme vous allez voir. La propriété de la fonction /{^) de n'avoir qu'un maximum entre les limites de l'intégrale conduit naturellement à employer, pour obtenir cette intégrale, la méthode du calcul des probabilités en posant

Soient ( = — ^ et t^:-\-k les valeurs de t qui correspondent aux limites a? =^ o et ^ ^^ [i, nous aurons

Gela étant, si l'on se borne à employer le premier terme seulement de l'expression de dx^ qui est l / — ~put~ "^'i '-^ "ï"' tienne

f'^'\/-¥Ër:-"-'

on observera que l'intégrale définie tend, avec une extrême rapidité, vers sa limite / e"" dt = ^iu et en diffère fort peu, même

pour des valeurs médiocrement grandes des limites ^ et A; de sorte qu'on obtient, pour l'expression approchée.

dSa coDTtESi'ONnANCE, u'hiîrmite ei' de stiiîi.tjks.

Observez maintenant que l'équation (A) donno, en iicgligoaiit

fli) (■>!-'»)"

on en conclut

unine La|3lace ^ =^ /«(o, cette quantité devient

ou plutôt en représentant par E, comme fait, je crois, M. Tisse rand, la Lase des logarithmes népériens

Lu règle de convergence lim \/i ■< i nous donne donc la conclusion de la Mécanique céleste.