STIELTJES A UERMITE

Je ne me rappelle pas avoir vu quelque part explicilement la formule

log^^^^jji^ = ^log« — ..;

cependant on ne peut pas, à proprement dire, la considérer comme nouvelle, puisqu'elle résulte immédiatement, en retranchant les formules (Sg) et (58) du Mémoire de Gauss Sur la série hypergéométrique {ŒJuvres, t. III, p. iSa), car

e sous un autr*

Mais je considère cette formule sous un autre point de vue. Soit b un entier positif, on a

logr(a+6)-!ogr(«) = log«(« + ,, ... la^h^i)

yGoosle

donc en développant suivant les puissances descendantes de a, et en introduisant les fonctions de BernouUi (j'adopte la notation de M. Jordan, t. II, p. 103),

^ ria) = 6 logo.

Yi(fe) f,(b) i.a.^,(A)

J'ai supposé ici b entier et positif, mais en ayant recours aux

intégrales définies qui représentent Iogr{a + b) et Iogr{a) vous verrez aisément que le développement ... est valable sans cette restriction. Toujours est-il remarquable que, lorsque b est entier ( positif ou négatif), la série est convergente lorsque a est suffisamment grand; ainsi la déduction précédente montre bien que potir b entier positif la série est convergente tant que a > b — 1. Lorsque b n'est pas entier la série est divergente quelle que soit la valeur de o, comme cela arrive, par exemple, pour b^ - ... ce qui donne précisément le cas particulier mentionné plus haut. Vous voyez que cette supposition, b entier positif, fournit un moyen simple pour retrouver la formule.

On a généralement

, - r/iog» + f-''ii -^f^^ •■'■'':"•'' H

ce qu'on pourrait trouver aussi directement en supposant encore b entier et positif.

La combinaison de (A) et (B) . . , donne

^ , fi(fc) , i.3.fs(^) ^ 1.3. 3.4.^5(6) ^

W i'-^WS^j-i'-rD'-^-

'îiiÈJ '■^■^■y'(^) ,

yGoosle

438 GO H H ES POND AR ce I

Supposons maintenant o < 6 •< j D'après les propriétés

connues des fonctions œ vous verrez que dans ces séries (C) et (D) les termes sont alternativement + et — et elles ont même caractère que la série de Stirling; en s'arrêtant à un terme quelconque l'erreur est moindre que le dernier terme.

Si vous inti-oduisez les intégrales définies pour logr, vous trouverez, en développant, les formules par intégrales définies des fonctions de Bernoulli dont vous avez traité dans le Journal de Crellei').

Les séries (G) et (D) ne donnent pas de fractions continues simples, mais les séries obtenues en prenant les dérivées par rapport à a donnent des fractions continues élégantes. Pour les

, je remplace ■ b par-

.lis leur

forme la

pi.

„■ .impie,

^,donc.-

— b pai

^.Alo,,o

'a-hi-h

Si dans (D') on suppose b entier, ou dans (C) h entier impair, on retombe sur de simples identités algébriques, car d'une parties fractions continues se terminent brusquement, et d'autre part les

(') Ce quejedia ici se rapporte aux formuics analogues à la formule de Schaar dont je vais parler k la fin de ma lettre.

LuriRE 206. 439

premiers meralires, en vertu de

sont aussi des fractions rationnelles. Cette circonstance me fait soupçonner que ces fractions continues représentent toujours, en supposant a et b réels, les premiers membres, mais je ne l'ai démontré rigoureusement qu'en supposant — 1 <; 6 + i . Mais ce qui résulte surtout de mon travail c'est la parfaite justesse de votre idée de faire dépendre les propriétés des fonctions de Bernoulli de leurs expressions par les intégrales définies.

Je dois ajouter que pour discuter les séries .,., il semble

indiqué de recourir à des formules intégrales analogues à la formule de Schaar dans le cas de la série de Stirling. C'est

ce qu'on peut faire dans le cas de log ■ v',"'"^ ' «i^si par exemple

>s(36it)^

Dans le cas de la fonction logF il doit y avoir sous le signe / ) je crois, un log, mais le temps me manque en ce moment pour cil erc lier la formule, voulant vous faire parvenir cette lettre aussitôt que possible, à cause des Mémoires indiqués de M'"' de K. sur lesquels vous voudrez demander peut-être l'avis de quelques personnes plus compétentes.

Veuilles aussi, pour cette raison, m'excusev Je vois bien

que j'ai écrit une lettre un peu embrouillée. Croyez-moi toujours votre très dévoué.