SriELTJES A HERMITE
Toulouse, 17 Hiai 1SS9.
Cher Monsieur,
En réfléchissant sur ce que j'ai griffonné liier soir, je sens Ii besoin de m'expliquer plus clairement afin de vous épargner li
peine fie rlébrouiller celLe leLtrc trop confuse. Je reprends donc la formule
en exprimantles fonctions logT par la formule
et
on trouve en posant
Maintenant, Je vais supposer sons cette condition
;e(*~â)-''-4-e~(''~a)-"' a ^ (~-[)^--:ia;co5(a& — [j^n
ce qui donne
j= r,.-.-.rf»ifa^'""."'":-'!'"-^'.
0,1 pour
^^ 2^7IJK,
Or
(44'-* CORRESPONDANCE d'heRMITE ET DR STIELT3E
En posanL
on ironvera facilement après quelques réductions .1 = / — ^ iog
(1 -(- (olili).
Il suffiL de remarquer que la l'onction
esl toujours ïi, donc son logarithme ^o, pour voir que la série oliLenne par le développement de J a le même caractère que la série de Slirling; posant ay = x,
en développant
on obtient par comparaison avec la série i.a...(2«)y,„+,(6)
= 4FX"""'°«[
d'où vous vo^ez que <Oi„+^{b) a un signe constant dans l'intervalle (o, i) et que sa valeur absoluecvoît de o à -j décroît de-à i, en repassant par les mêmes valeurs. Cette valeur de ■fa„+i{6) doit revenir au fond à celle que vous avez donnée dans le Journal de Crelle, t. 79. Pour 6 := - on retombe sur laformule qui se trouve dans votre dernière lettre.
La formule de décomposition dont j'ai fait usage est une consc-
Voici un système complet de formuies
'ir:;:^-=S'-o'-'"''°t*rn',|[? (-.ssê-^.).
Il y a iialurellemeiit une formule analogue pour le développement de
Voire très dévoué.
P. S. — Je viens de recevoir votre lettre et je m'empresse de répondre. Vous me faites beaucoup d'honneur en voulant insérer mon résultat dans votre Cours, seulement j 'ai obtenu la limitation plus simple
ti = Re'0 (— Tr<9<-HTr),
ïRcos48 ce c|ui, pour le cas a réel positif, donne
J(«)<-^- C'est donc cette limitation
^ ' 12RCOS49 t[ue je vous prierai de mentionner.
lER.lllTE ET DE STIfil.TJËS.
Voici la démons Lra lion ce qui donne la série de Guclcnnami
j«.).|;[(,. + »H-i)iog(!^iiii)-,],
mais aussi
/ 5 — __ ^^— I — ï ds:— I dx.
En posant dans la première intégrale ar = « +y, dans la seconde x = h+ i —y-, il vient
On a
(/i+j'-i-«)(«-hi-^-h«)=(« + «)(« + <n-,)+:K(i-r); donc, dans le cas a réel positif,
'"•»<i"i<'-"-^>"*-i(^Tir,Ti-î
c'est-à-dire Mais soit
« = IU'l (-,r<6<-4-it),
/i-(-^ et H + 1 — y sont toujours réels et positifs; or, lorsque b est réel et positif,
mod{6 -H «) > (6 -1- R) coaie.
Ayanl ensuile il vient
iiiodJ(a)< -
i fortiori
Il va sans dire que celte limitalion se viif)porte à ly continuation analytique de
dans le cas oi'i P.R.a serait néoalive.
. — HERMITE A SriELTJES.
MoB c.HEii Ami,
Je suis on ne peut plus satisfait de votre méthode extrêmement ingénieuse et élégante, pour obtenir la limite
raodJ(«)<-
iRcos^l-i
et je la reproduirai textuellement dans la leçon sur les inté^ales eulériennes de ma nouveUe édition, leçon que j'ai refondue entière-
Les formules que vous m'avez aussi commimiquées pour le développement de
t très intéressantes, et vous pensez quelle attention je donne à
446 roRiiESPONnANCT. d'hermiti; t.r de stibltjus.
votre expression :
,, (—11"-' f" , , I — est'f cos2èTt-+-e''t^ , i.2...sntpï^i(è) = —^ — / aT2"lo8 . ^^^^ j d^,
qu'il me faiidra bien étudier cl. rapprocher de mes anciens résultats sur les fonctions de Jacob Bernoulli. Me proposant de faire avec mon cours lithographie de la Faculté, le deuxième Volume de mon cours imprimé de l'Ecole Polytechnique, je réserve ce travail pour un autre moment, car maintenant j'ai vraiment plus d'ouvrage que je n'en peux faire.
