STIELTJES A HERMITE

Toulouse, 28 mai 1889.

ChEH MoNSlKUli,

Un travail urgent (rédaction d'un rapport annuel sur l'état de l'Observatoire de Toulouse ) m'a fait remettre pour quelques jours de répondre à quelques questions qui se trouvent dans vos deux dernières lettres. Comme vous le remarquez, on peut écrire, au

I €Oiirespondam:}

1 de

Déjà, en 1886, j'avais rencontré pour J{«) des intégrales avec la fonction ^ sous le signe / > par exemple, aussi

0^0,37-^.., el ces intégrales sont valables dans tout le plan excepté la coupure de o à — 00. Mais je n'avais pas réussi alors à en déduire la formule de Stirling, ce qui n'est pas difficile pourtant et j'avais complètement perdu de vue ces expressions, jusqu'à ce que le travail de M. Bourguet m'y ait ramené.

Voici une remarque d'où l'on peut déduire directement la formule

(A) Mog- "

(cibi,,, soil b une constante réelle et posons

Je dis que lorsque u est réel on peut exprimer niod/[ui) pai ■les fonctions élémentairns. En effet

,od/(»,-) = i/r(» +

/siii7t(t + H0siini(è^«i)

Vous voyea donc qu'en posant

>ii peut exprimer directement la partie réelle de ^{yi) en suppoiaul y réel et l'on trouve alors

où vous voyez la fonction sous le signe / dans la formule (A). Et l'on peut en conclure directement cette formule (A) à Faide d'une formule déduite de l'intégrale de Cauchy

que j'ai donnée dans le cahier de mes Noi pour en déduire la formule de Binet

On peut obtenir d'une façon analogue la formule

facilement. Les formules (A) et (B) conduisent à des expressions des polynômes de Bernonlli qu'on peut transformer jo a/' une inté~

!\5->. coiiUKSi'ONDANCiî d'khkmitk i!T de stiei.tjës.

gration par parties dans celles que Ruab et vmis oni. données. Le

développement de (B) donne

la série divergente ayant les mêmes propriétés que la série de Slirling quant au terme complémentaire.

Je dois vous remercier encore beaucoup de donner ma limitation de niodJ(fl) dans votre Cours. Je crois, en efl'el, que cette limitation a quelque importance aussi pour la théorie de la fonction r en général. Comme je l'ai montré dans le caliier de mes Notes, on peut en déduire rigoureusement la formule de Binel en se servant de la formule de Caucliy rappelée tout à l'heure, et j'avoue que j'attache quelque intérêt à celte déduction. Veuillez bien me croire toujours

Voire très dévoué.