lUiRMITE A STIELTJES

Paris, 3i niiii 1889.

Mon cher Ami,

Les formules (A) et (B) sont aussi belles qu'elles sont nouvelles; vous les mettrez certainement dans un travail d'ensemble qui réunira tous les résultats auxquels vous êtes parvenu sur la fonction \''{a) et fera un excellent Mémoire.

J'ai été obligé de m'arracher de ce sujet pour jue jeter tète baissée dans les fonctions elliptiques que j'enseigne maintenant, et, comme il m'est difficile de réfléchir en même temps à deux choses différentes, je m'éviterai, si vous le permettez, l'efiort à faire pour vaincre la force d'inertie, en vous demandant s'il ne convient poini de donner à l'intégrale

x'He-

la coudit

condui

voyez cjue, n prenant des valeurs positives et négatives, lorsque t varie de zéro à — co, on obtient pour coupure tout l'axe des ordonnées.

C'est donc le même rcsidlat qu'avec t'auLrc e^|JJ'essL(lll si diffère iite

i'iiis-je dire CTisuIle que voire (imitation mo(IJ(a)< ! —

est valable dans tout le pbiii, nonobstant cette cuiipiiro, qui se relnjiive dans l'expression

C'est ce (jue, sans trop réfléchir, je conclus en lisant dans votre avant-dernière lettre : « Il va sans dire que cette limitation se rapporte à la continuation analytique de (i) lorsque la partie réelle de « serait négative. »

DoJs-je comprendre que vous faites cette extension, ainsi qu'il parait naturel, au moyen de la relation

à laquelle conduisent les deux expressions de i(a)'{

Samedi dernier, après ma leçon, j'ai été à Versailles voir Halphen, pour la dernière fois, sur son lit de mort. J'ai eu avec M""* Halphen, qui contenait son désespoir en retenant ses larmes, un entretien dont je ne pourrai jamais perdre le souvenir. La présence à côté d'elle de madame sa mère, qui est de Nancy, et m'a parlé de ma famille qu'elle a connue, a fait un peu diversion; j'ai tenté, en parlant du mérite éclatant de son inari, de donner la seule consolation qui fût en mon pouvoir, et un intime ami. M, Collet, qui a corrigé les épreuves du Traité des fonctions elliptiques, m'a écrit

454 GOKEESPONDÀNCE D HTJKHriK ET

que ma visite n'avail pas été entièrement inutile, mais que c'est peu de chose ! Sunt lacrymœ rerum et mentem mortalia langunt.

En vous renoiivelant, mon clier ami, l'assurance do toute mon affection.

214, — HERMITE A STIELTJES.

Je m'aperçois à l'instant que

a pour coupure la partie négatiie de l'axe des abscisses, comme vous le dites, et non point, comme je viens par inadvertance de vous l'écrire, l'axe des ordonnées.

Il y a là matière sérieuse à réflexion; la formule ci-dessus ne donne aucunement, comme les intégrales définies,

Comment donc, en définitive, obtenir l'extension à tout le plan de J(a)?