STIELTJES A HERMITE

ChEII MOWSIEDR,

"Vous trouverez un peu plus loin un petit résumé des formules nouvelles de la tliéorie de la fonction F, qui vous sera utile peutêtre lorsque vous reviendrez sur cette théorie; pour lé moment, il suffira de remarquer que la formule

log r(,ï) = (« - ^ j log« - « + ^ log'...Tr -H J (a)

définit évidemment J(a) comme fonction non uniforme de a. Mais supposons une coupure de o à — -co et prenons J(<i) réel lorsque a est réel et positif. Alors, grSce à cette restriction de la marche de la variable, 5(^a) «st (artificiellement) uniforme et a une valeur déterminée dans lout le plan (excepté, il est vi'ai, les points

de la coupure où, à vrai dire, il y a deux valeurs selon que l'on arrive en ce point par un chemin tracé dans la partie supérieure

ou inféricin'e du plan). C'est cette fonction J(a) qui est donnée par

et à laquelle se rapporte Sa liniiLaLion

mod J(Re'"S)< — -'——.

Quant à la formule

'<">-U"^^^ëï^'-

elle n'est exacte qu'en supposant P. R. a > o et, pour éviter loute équivoque, il vaudrait peut-être mieuï écrire

où il faut prendre le signe -h ou — selon que la partie réelle de a est positive ou négative.

Si l'on adoptait (1) comme délinition, on aurait

Mais, comme vous l'avez remarqué, l'axe imaginaire est une coupure et des deux côtés on a, en vérité, deux fonctions différentes dont l'une n'est pas la continuation analytique de l'autre. Ici, comme d'ordinaire, par continuation analytique il faut entendre cette continuation parfaitement déterminée qui se fait, d'après M, Weierstrass, par la série de Taylor ou, d'après Biemann, par l'équation

a = ^ + yi, jà/ja) ^df{a)

Toute autre méthode conduit à l'arbitraire. Donc il ne convient

456 coRUËSi'OADiNuE d'iiermite kt de stibltjus.

pas d'adopter (i) comme définition générale, il faut la borner au cas P. R. a >■ o ou, ce qui revient au même, la remplacer par (i'). La continuation analytique (d'après Weierstrass) rlc la fonction qui est définie pour

P.R.a>o par l'intégrale

est précisément la fonction J(rt) telle que je l'ai définie en commençant, et qui est donnée par (a).

H serait facile de continuer analytiquement cette fonction J{«) en traversant la coupure; pour cela, il suffit de calculer la différence des valeurs de i{a) sur les bords de la coupure. Mais alors elle cesse d'être uniforme.

J'ai vu avec plaisir votre transformation

Ai

Dans la première, on doit supposer P. R. o >- o pour que l'intégrale soit convergente; il est curieux de voir que, dans la seconde, cette restriction s'annonce par l'existence d'une coupure.

Sait-on, Monsieur, si le Tome III du Traité de Halphen est irréparablement perdu ou s'il avait préparé du moins une partie pour l'impression déjà?

Â-t-on déjà démontré que la constante enlérienue C = 0,577'ii56ti49...

est un nombre incommensurable? Je pense de temps en temps à cela, mais je n'ai pas encore U'ouvé une expression de C qui pourrait conduire à une démonstration, cependant, je dois examiner encore quelques expressions obtenues récemment et qui me semblent donner une faible espérance. Mais peut-être que je perds ma peine à pure perte et la chose est^elle déjà démontrée.

Mais ma principale occupation est d'achever et de perfectionner

mon l!'av;iil sur les d'actions continues; pour n'y pas rent'eviucr trop de choses un peu disparates, je le scinderai en deux parties ; Tune plutôt algébrique, tandis que, dans la seconde, je m'occupe de la question de con\erg;ence surtout. Ces fractions continues représentent ordinairement des fonctions dans tout le plan, excepté une coupure comme J{«).

Je pense passer les vacances près de ma famille en Hollande, c'est plus de quatre ans que je n'ai pas \u ma famille et ma femme éprouve aussi un grand désir à revoir ses parents. Cela n'entravera en aucune façon notre travail, la Haye est même plus près de Paris que Toulouse (onue heures en chemin de fer au lieu de seize heures). Je pourrai même travailler là-^has plus à mon aise qu ici où les grandes chaleurs sont vraiment accablantes, -et les enfants aussi en soufl'rent beaucoup. Vous me savez être toujours votre très dévoué.

P. -S. — Les intégrales définies dans la théorie de la fonction r(")' q"'o" a considérées jusqu'ici presque exclusivement, ne sont valables qiie sous la condition

Il n'y u qu'une exception apparente pour la formule de Oinet

mais vous avez remarqué que, à vrai dire, ce n'est là qu'une illusion. L'intégrale représente des deux côtés de la coupure deux fonctions différentes, l'une n'est pas la continuation analytique de l'autre.

C'est M. Bourguet qui a d'abord obtenu des intégrales définies qui permettent de franchir l'axe des^. 11 obtient une formule que j'écris, après un léger changement de variable.

1 J (a) dans Lour, te plan a\ec la coupure tion,l(a) telle qu'elle a été cléluiie plus

458 GOIIRESPONDANCE d'UEKNIIE ET DE STIELTJES.

haut. Une autre forme de cette formule de M, Bourguet est crUc-l

^iii„

est évideiïiLiieiit nue fonction périodique

et, iJitiis l'intervalle (o, i), on a

Cette seconde forme (a) se décompose iininédiatement dans la formule de Giidermann

Ha)^ f -'■^ du+ f ^^^dii-h,...

C'est cette seconde forme (a) qui me parait la plus importante et la plus fondamentale ; il en résulte aussi directement la différence des valeurs de J(a) aux bords de la coupure, d'après votre for- La formule de Gudermanii (3), déduite de (2), permet naturellement de continuer la fonction J(a) en traversant la coupure et met ainsi aussi en évidence le vrai caractère de J{a) et montre qu'elle admet tme infinité de valeurs selon le chemin de la variable, si l'on fait abstraction de la coupure.

Peut-être que je me déciderai à rédiger et à publier ce que j'ai fait sur ce sujet.

J'ai besoin de' ces formules pour faire voir que la série de Stirling est applicable dans tout le plan. Cela a toujours été mon but principal et qui m'est propre.

La démonstration dp, la limUation

■■'°"''"<,,R.l..i9 est le premier pas cl le plus ijnpoi'tant dans cotte direction.